【JavaScript】処理に前後関係を付けるロジックを組みたい（お知恵をお借りしたい）

Onsen UI はよくわかりませんが、window.FirebasePlugin が ons のコード内で定義されていないなら、下記のような方法で出来ると思います。

      var mode = "icon";
      //① プッシュ通知から開かれた場合のみ実行される
      window.FirebasePlugin.onNotificationOpen(function(notification){
        mode = "push";
        ・・・・
        });
    ons.ready(function() {
      //②...初期化処理initをmodeを引数にして起動
      init(mode);
    });// ons.ready()ここまで

kei344 さんのコメント欄のアドバイスで解決可能と考えていたので、この展開は意外でした。

 同期処理

ただし、①は実行されるとは限らない。
②は必ず実行されるが、①よりも後に実行され、
①で値がセットされていれば、①の値を使って②を処理したい。

同期処理でこの課題を解決するのは簡単です。

'use strict';
var foo = {
  a: 0,
  process1: function process1 () {
    this.a = 1;
    console.log('①');
  },
  process2: function process2 () {
    console.log('②', this.a);
  }
}

var bar = 1;

if (bar) {
  foo.process1();
}
foo.process2();

しかしながら、ons.ready, window.FirebasePlugin.onNotificationOpen はイベント駆動なので、使用しているライブラリ/DOMの「イベントモデル」のルール内で対応するハンドラ関数が発火します。

 イベントモデル

kei344 さんが紹介して下さったURLからリンクを辿ると、イベントの発火順に触れた記事が見つかります。

• [Monaca] CordovaプラグインとOnsen UIの利用について - Qiita
• [Monaca] イベントの発生順序について - Qiita

Google先生に尋ねれば、pluginが利用可能になるタイミングが deviceready イベントである事が分かるので、次のように書きます。

document.addEventListener("deviceready", function handleDeviceReady (event) {
  console.log(event.type);  // "deviceready"

  window.FirebasePlugin.onNotificationOpen(function(notification){
    console.log('notificationOpen');
  });
}, false);

ons.ready(function() {
  console.log('ons.ready: Onsen UI load complete');
});

このコードで「deviceready -> ons.ready」の順番で発火する事は保証されているので、「onNotificationOpen と ons.ready のどちらが先に発火するイベントモデルなのか」が問題ですが、検証すればすぐに結果は出るでしょう。
(考えづらいと思いますが、もし、ons.ready が先に発火するのであれば、onNotificationOpen が発火するまで数秒間待機させるか、別のイベントを探す必要があります。)

 NotificationOpen イベント

• arnesson/cordova-plugin-firebase: Cordova plugin for Google Firebase

1. App is in foreground:
 i. User receives the notification data in the JavaScript callback without any notification on the device itself (this is the normal behaviour of push notifications, it is up to you, the developer, to notify the user)
2. App is in background:
  i. User receives the notification message in its device notification bar
  ii. User taps the notification and the app opens
  iii. User receives the notification data in the JavaScript callback

NotificationOpen イベントはバックグラウンド実行されたアプリから復帰した時にも発火するイベントです。
従って、先のコードで処理を行うと既に初期化処理が終わっているアプリに対して、バックグラウンドから復帰時にもう一度初期化処理が走る事になります。
それが望まない動作であるなら、フラグ管理する等して初期化済かどうかを判断する条件分岐処理が必要になります。
ちなみに、Monaca には resume イベントが用意されているようです。

• イベント - Monaca Docs

Re: Clavat さん

おそらくkei344さんが正しい解説をつけてくれているようなので
ロジックの話だけ

コード内の①と②に　①⇒②の処理順を設定したい。 
ただし、①は実行されるとは限らない。
②は必ず実行されるが、①よりも後に実行され、
①で値がセットされていれば、①の値を使って②を処理したい。 

論理的に矛盾しているように見受けられます

「②は必ず実行されるが、①よりも後に実行される」ということは
②は①に依存しているということです。

さらに「①は実行されるとは限らない」わけですから
それに付随して「②は実行されるとは限らない」状態です

その状態で「②は必ず実行される」となっているので、条件があいません。

流れとしては

• ①が実行されたら②は実行される

は確定だとして

• ①が実行されなかったら②は実行されない
• ①が実行されない場合でも②は実行されるが他のなにかトリガーが定義されている

のどちらかを定義する必要があります

皆さんご回答ありがとうございます。
お三方みなさんから、何がダメなのかをご教授いただきました。
皆さんにベストアンサーを付けたいところですが、1名だけということですので、
こちらの知識レベルとやりたいことに寄り添っていただき、
わかりやすいお答えをいただいたmiyabi-sanとさせていただきました。

プラグインを知らない、回答を全て読んでいませんが…

promiseを使って、非同期処理にすればよいのではないでしょうか？