PHPのmail関数を使ってHTMLメールを含むマルチパートメールを送信しても、受信側でメール本文が表示されない

実現したいこと

PHPで、HTML形式とテキスト形式を含むマルチパートメールを送信したい。メールを送信することはできて、送信先アドレスで受信もできているのですが、本文が（HTML形式もテキスト形式も）表示されていません。

発生している問題・エラーメッセージ

受信側のGmailで「メッセージのソースを表示」したときに表示される内容（一部省略・改変）：
To:zzzzz@gmail.com
Subject: 件名
X-PHP-Originating-Script: 287217:htmlmail.php
Content-Type: multipart/alternative; boundary="--67620647262a33a1abdd516.50878460"
Content-Transfer-Encoding: binary
MIME-Version: 1.0
Content-type: text/html; charset=UTF-8
From: "送信者の名前" <xxxxx@yyyyy.com>
Message-Id: <20220610123330.D17C98202C69@yyyyy.com>
Date: Fri, 10 Jun 2022 21:33:30 +0900 (JST)

----67620647262a33a1abdd516.50878460
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Disposition: inline
Content-Transfer-Encoding: quoted-printable

=E4=BB=A3=E6=9B=BF=E3=83=86=E3=82=AD=E3=82=B9=E3=83=88=E3=81=AE=E6=9C=AC=E6=
=96=87

----67620647262a33a1abdd516.50878460
Content-Type: text/html; charset=UTF-8
Content-Disposition: inline
Content-Transfer-Encoding: quoted-printable

HTML=E3=83=A1=E3=83=BC=E3=83=AB=E3=81=AE=E6=9C=AC=E6=96=87
----67620647262a33a1abdd516.50878460


----67620647262a33a1abdd516.50878460--

※boundaryが4回出てきて3つのパートに分かれ、最後のパートが空白なのが気になっています...

該当のソースコード

PHP
1<?php
2$mail_from      = 'xxxxx@yyyyy.com';
3$mail_to        = 'zzzzz@gmail.com';
4$mail_from_name = '送信者の名前';
5
6$subject = '件名';
7
8$body_text = '代替テキストの本文';
9$body_html = '<h1>HTMLメール</h1><p>本文</p>';
10
11$parameter = "-f ".$mail_from;
12
13$boundary = "--".uniqid(rand(),1);
14
15// ヘッダー情報
16$headers = '';
17$headers .= 'Content-Type: multipart/alternative; boundary="' . $boundary . '"' . "\n";
18$headers .= 'Content-Transfer-Encoding: binary' . "\n";
19$headers .= 'MIME-Version: 1.0' . "\n";
20$headers .= 'Content-type: text/html; charset=UTF-8' . "\n";
21$headers .= "From: " . mb_encode_mimeheader($mail_from_name) . "<" . $mail_from . ">" . "\n";
22
23// メッセージ部分
24$message = '';
25$message .= '--' . $boundary . "\n";
26$message .= 'Content-Type: text/plain; charset=UTF-8' . "\n";
27$message .= 'Content-Disposition: inline' . "\n";
28$message .= 'Content-Transfer-Encoding: quoted-printable' . "\n";
29$message .= "\n";
30$message .= quoted_printable_decode ( $body_text ) . "\n";
31$message .= "\n";
32$message .= '--' . $boundary . "\n";
33$message .= 'Content-Type: text/html; charset=UTF-8' . "\n";
34$message .= 'Content-Disposition: inline' . "\n";
35$message .= 'Content-Transfer-Encoding: quoted-printable' . "\n";
36$message .= "\n";
37$message .= quoted_printable_decode ( $body_html ) . "\n";
38$message .= '--' . $boundary;
39
40// 送信する
41if(!mail($mail_to,$subject, $message, $headers, $parameter)){
42  echo "送信失敗";
43}else{
44  echo "送信成功";
45}
46
47