lambda で BASIC認証(HTTP API方式だと出来るがREST API方式だと出来ない）

Question

前提

LambdaでPHPを使ってWEBサービスを開発しております。

実現したいこと

BASIC認証をかけたい。

発生している問題・エラーメッセージ

Lambda でHTTP API 方式で関数を作成して、以下ソースコードで実行すると
想定した通りのダイアログが立ち上がりID、PASSを求められ入力すると正常遷移します。
が、REST API 方式で関数を作成すると、ダイアログは立ち上がらず、
BASIC認証が必要ですと画面に表示されるだけです。

該当のソースコード

header('WWW-Authenticate: Basic realm="Enter username and password."');
header('Content-Type: text/plain; charset=utf-8');
header("HTTP/1.0 401 Unauthorized - basic");
die('BASIC認証が必要です');

REST API方式だとどうしてだめなのでしょうか？
またREST API方式で実現することは出来ないのでしょうか？