NuxtでFirebase Authentication用ののpluginファイルをTypeScriptで作成したい

Question

現在Nuxtjs(TypeScript, Composition APIを使用)+RailsにFirebase Authentication(v9)を使用してユーザー登録機能を実装しようとしています。
Vue(Nuxt)、TypeScriptでの開発ははじめてです。
環境変数の設定は.envファイルを使用して、参照にはnuxt.config.tsのpublicRuntimeConfigを使用しています。

以下のサイトではFirebase用のpluginファイルをJavaScriptで書いていますが、@nuxtjs/dotenvもしくは直書きしていますが、どちらもNuxtで推奨はされていません。

Nuxt + Rails + Firebase ユーザー登録 (Nuxt編) | tns-blog
Firebase web v9 API with Vue composition API

以下のサイトを参考にしながら以下のことを実現したいです。
アドバイスいただきますようよろしくお願いいたします。

• TypeScriptを使用すること
• publicRuntimeConfigを使用して環境変数を扱うこと
• Pluginファイルでfirebaseというモジュール名でexportすること(vueファイルで以下リンクのように使えること)
  • Nuxt + Rails + Firebase ユーザー登録 (Nuxt編) | tns-blog

動作環境

package	version
nuxt	2.15.8
nuxtjs/composition-api	0.31.0
nuxt/types	2.15.8
firebase	9.6.5

期待する動作

• publicRuntimeConfigを使用して環境変数を扱うこと
• Pluginファイルでfirebaseというモジュール名でexportすること(vueファイルで以下リンクのように使えること)
  • Nuxt + Rails + Firebase ユーザー登録 (Nuxt編) | tns-blog

発生している問題・エラーメッセージ

dotenvはもう古い！最新Nuxtの環境変数管理方法を参考にして{$config}という形で呼び出した場合にfirebaseというモジュール名でexportする書き方がわからない。

参考にしたサイト

nuxt.config.tsで設定した環境変数をpluginファイルで参照する方法は以下を参考にしました。
Nuxt.jsの正しい環境変数の設定・利用方法 | mktia's note
Nuxt - Moving from @nuxtjs/dotenv to runtime config
dotenvはもう古い！最新Nuxtの環境変数管理方法

Firebase Authentication(v9)を使用したプラグインの書き方は以下を参考にしています(ただしJavaScript)。
Nuxt + Rails + Firebase ユーザー登録 (Nuxt編) | tns-blog
Firebase web v9 API with Vue composition API

該当するコード(3つ)

nuxt.config.ts(1/3)

import type { NuxtConfig } from '@nuxt/types'
const config: NuxtConfig = {
  // 省略
  plugins: [
    '@/plugins/axios',
    '@/plugins/firebase'
  ],
  // 省略
  // 環境変数を参照するためのコード
  publicRuntimeConfig: {
    firebase: {
      apiKey: process.env.FIREBASE_API_KEY,
      appId: process.env.FIREBASE_APP_ID,
      authDomain: process.env.FIREBASE_AUTH_DOMAIN,
      measurementId: process.env.FIREBASE_MESSAGING_SENDER_ID,
      messagingSenderId: process.env.FIREBASE_MESSAGING_SENDER_ID,
      projectId: process.env.FIREBASE_PROJECT_ID,
      storageBucket: process.env.FIREBASE_STORAGE_BUCKET
    }
  }
}

plugins/firebase.ts(2/3)

import type { NuxtConfig } from '@nuxt/types'
import { initializeApp, getApp, getApps, FirebaseApp, FirebaseOptions } from 'firebase/app'
import { getAuth, createUserWithEmailAndPassword, signInWithEmailAndPassword } from 'firebase/auth'

// vueファイルで firebase.auth() のようなかたちで読み込めるようにしたい
export default function ({ $config }: NuxtConfig) {
  const firebaseConfig: FirebaseOptions = {
    apiKey: $config.firebase.apiKey,
    appId: $config.firebase.appId,
    authDomain: $config.firebase.authDomain,
    measurementId: $config.firebase.measurementId,
    messagingSenderId: $config.firebase.messagingSenderId,
    projectId: $config.firebase.projectId,
    storageBucket: $config.firebase.storageBucket
  }

  const firebase: FirebaseApp = !getApps().length ? initializeApp(firebaseConfig) : getApp()
}

pages.indev.vue(3/3)

<script lang="ts">
import { defineComponent, onMounted, ref, useContext } from '@nuxtjs/composition-api'

export default defineComponent({
  setup () {
    // 省略
    onMounted(() => {
      // Firebase Authenticationgがアプリ上で動作しているか確認のためのコード
      // firebase という名前でexport されていないため
      // Cannot find name 'firebase'. というエラーが発生している
      console.log(firebase.getAuth())
    })
  }
})
</script>