サイト側が特定のユーザーエージェントなどで与えるCooikeを変更する

Google App Scriptを使ってあるサイトにログインしデータを取得しようと思っています。
ログイン自体は出来たようなのですが、その後のページ遷移の為に必要だと思われるCookieが取得できず困っています。
私の記述が間違っているのであればまだいいのですが、
サイト側が特定のユーザーエージェントなどで与えるCooikeを変更していた場合、徒労に終わってしまいます。

恐らく可能かとは思います、が実際にこのようなケースを経験されたとこはありますでしょうか。
或いは私の記述に誤りがある可能性が高いでしょうか。

一応、Chromeのデベロッパーツールを使い、ユーザーエージェントをGASの
「Mozilla/5.0 (compatible; Google-Apps-Script)」
に変更してみましたところ問題なくログイン出来てしまいました。

実際の処理としては
同じくデベロッパーツールで確認したところ、

POST用ログインページ GET 302 →ログインページへ
ログインページ GET 200
(ログインページに入力しボタンクリック)
(POSTのペイロード：ID、パスワード、ログインページ下部にjsで生成されたcsrf対策トークン)
POST用ログインページ POST 302 →ユーザー画面へ ←ここのCookieがGASとクライアントで異なる
ユーザー画面 GET 200

という感じでした。

なのでGASでは

var response = UrlFetchApp.fetch('ログインページ');
var csrfToken = Parser.from().to().build();//token抜き出し
var cookie = response.getAllHeaders()["Set-Cookie"];
var header = {
      "Cookie": cookies[0],
  };
var login_payload = {
    "mailAddress": "ID",
    "password": "パスワード",
    "csrfToken": csrfToken[0]
  }
var post_options = {
  method: "post",
  payload: login_payload,
  headers: header,
  muteHttpExceptions : true,
  followRedirects: false,
  };
//POST
response = UrlFetchApp.fetch('POST用ログインページ',post_options);
header = {
      "Cookie": cookies[0], //**←ここのCookieがGASとクライアントで異なる**
  };