Microsoft Azure の Azure DNS からのネームサーバー移行について

###目的
現在Microsoft AzureのAzure DNSサービスを使っています。
ここから、別のネームサーバーに移行する場合の手順について疑問に思ったので質問させて頂きます。

###前提
移行先のネームサーバーはOS、サーバーソフトウェア、あるいは商用サービスかを問わない。
移行元のネームサーバーであるAzure DNSは、NSレコードとして追加のNSを指定することはできるが、
Azure DNS本体が設定されている部分はグレーアウトされ変更、削除できない。

###発生している問題・エラーメッセージ
通常、ネームサーバーの引っ越しにおいては、キャッシュをもとにルートサーバーから辿らず、
直接元ネームサーバーに情報を読みに来たクライアントを新ネームサーバーに誘導するために、
元ネームサーバーのNSレコードに新ネームサーバーのアドレスを設定し、しばらく並行運用するという手法をとると思います。

しかし、Azure DNS等のNSレコードが変更できないサービスは直接読みに来たクライアントに古いNSレコードを渡してしまい、
結果その古いNSレコードをキャッシュし続けてしまい新ネームサーバーにアクセスしない、という状況が発生してしまいます。

この問題を回避しつつ、新しいネームサーバーに以降するにはどういった手順を踏めばいいのでしょうか？

###DNSの設定内容

;わかりやすくするためにBINDの表記方法で記載。
;実際はこれらはAzure DNS専用のWeb UIで設定されています。
$TTL 3600
@	IN	SOA	;省略

	IN	NS	ns1-05.azure-dns.com.	;変更不可
	IN	NS	ns2-05.azure-dns.net.	;変更不可
	IN	NS	ns3-05.azure-dns.org.	;変更不可
	IN	NS	ns4-05.azure-dns.info.	;変更不可
	;追加のNSレコード追加は可能

;以下にAレコード等が続く