Railsで外部プログラムを取り込むにはどうすればいいのでしょうか？

説明すべき事が多くて少し混乱させてしまうと思います。
疑問点をコメントでもらえればと思います。

 rubyのクラスとインスタンス変数へのアクセスについて

こういうクラス定義があったすると、
MyClass.new.nameとは出来ないのは理解できますでしょうか？
@nameはインスタンス変数で、外部に対しては非公開だからですね。

class MyClass

  # コンストラクタ
  # MyClass.newとして使う
  # メソッド名が異なる点に注意
  # 違和感あるけどそういうものです
  def initialize
    @name = "あいうえお"
  end

end

@nameを外部から取得できるようにするために、railsのモデル風にnameというメソッドを定義します。
いわゆるゲッターメソッドですね。
本当は名前は、なんでもよくてget_nameとかでもいいです。
後から出て来る、attr_xxx系の命令と動作を同じにするため＝説明の都合上でこういう名前にしてます。

class MyClass

  def initialize
    @name = "あいうえお"
  end

  def name
    @name
  end

  # ゲッターの名前は何でもいい
  def get_name
    @name
  end

end

これとまったく同じことをするのが、attr_reader :nameです。
セッターも欲しいなという場合には、attr_accessor :nameとします。

本題はここからで、手で書いてもいいし、attr_xxxを使ってもいいので、MyClass.new.nameと出来るようにすれば、コントローラでも同じように使う事が出来ます。
独自クラスのインスタンス変数を他でも扱う事が出来るわけです。

 置き場所について

rails5であれば、app/以下にあるファイルは自動でrequireしてくれます。
従って、app/lib/mylibrary.rbに置けば大丈夫です。
確認方法は、rails consoleでその処理が実行できるかどうかで確認できます。
ただし、クラスまたはモジュールにする必要があります。

app/helpers/にxxxx_helper.rbを定義して、コントローラでincludeする方法もあるんですけど、
カオスになりがちなので、独自クラスを作るほうを先に覚えたほうがいいと思って、そこだけ説明しますね。

たとえば、このようにただメソッドを定義しただけでは、
app/lib/mylibrary.rb

def sample
  puts "sample"
end

このように認識されません。

$ rails console
> sample
NameError: undefined local variable or method `sample' for main:Object
        from (irb):1

そこで、mylibrary.rbの内容をクラスにします。
ファイル名とクラス名は一致させる必要がある点に注意。

class Mylibrary
  def sample
    puts "sample"
  end
end

クラスなので、当然newしてからメソッドを呼ぶ必要がありますが、
きちんと実行できました。
コンストラクタ(initialize)は独自の処理が必要なければ、書かなくてもいいです。

$ rails console
> Mylibrary.new.sample
sample

rails consoleで実行できることは、コントローラでも実行できます。
従って、いきなりコントローラに書かずにconsoleでいろいろ試すのが一番効率がいいです。
実行と結果の確認がすぐできるため。
ブラウザで開くより早いですよね。

コントローラでは、このよう同じように書けます。
rails consoleで実験してうまくいったら、コントローラでもそのまま書けば良いというのがポイントです。

class ScoreController < ApplicationController 

  def sample
    Mylibrary.new.sample
    あるいは、こうも書ける(文法上当たり前)
    mylib = Mylibrary.new
    mylib.sample  
  end

end

 コントローラの変数をビューに渡す方法＝画面に表示する方法について

基本ルールについて理解があやふやっぽいので、ここについても説明します。

• コントローラのインスタンス変数を定義する(インスタンス変数＝@付きの変数の事)
• ビューではコントローラのインスタンス変数が使える
• <%= @変数 %>で表示できる

これだけです。
要は、コントローラのメソッド＝アクションの中で@変数を作れば、対応するビューでも使えるよ、
というだけのシンプルなルールです。

class ScoreController < ApplicationController 

  def sample
    # @mylibを定義したから、app/views/score/sample.html.erbでも@mylibが使える
    @mylib = Mylibrary.new

    # @customerを定義したから、ビューでも@cusotmerが使えるし
    # @customer.scoreも使える
    @customer = Customer.find(1)

    # いきなり@scoreをビューで使いたければ、ここで定義する
    @score = 13435
  end

end

 個人的におすすめの方法

個人的な方法なのでとりあえず紹介だけしておきます。
内容は分からなくても問題ないですが、余計に混乱させたらすみません・・・。
私はこの手のクラスをコマンドと呼称する派ですが、世間一般ではサービスと呼ぶ事が多いです。
ある1つの操作(ポイントを更新するなど)を単体でクラスにします。
私の場合は、コンストラクタ(new=initaialize)と、実行(run!)を必ず用意します。
コマンドはnewしてrunするという使い方で統一するというルールを自分の中で作っているため。

app/commands/update_score_command.rb

# スコアを特定のルールに従って更新するコマンド
#
# 使い方:
# customer = Customer.find(1)
# command = UpdateScoreCommand.new(customer: customer)
# command.run!
# score = command.score
# 
class UpdateScoreCommand
  # command.scoreとしたいので、getterだけ用意する
  # command.score =1234とされてしまう事故は防ぎたいので
  # attr_accessorは使わない
  attr_reader :score

  def initialize(customer:)
    @customer = customer
    @score = @customer.score
  end

  def run!
    @score.sc1 = @customer.point + 100
    @score.save!
  end
end

class ScoreController < ApplicationController 

  def sample
    @customer = Customer.find(params[:id])
    command = UpdateScoreCommand.new(customer: @customer)
    command.run!

    @score = command.score
  end

end

 追記

追記：mingosさんのおすすめコードについて
attr_reader :scoreのscoreとdef initialize(customer:)の（customer:)についてです。
attr_reader :scoreのscoreですが、mingosさんの例でいくとcommandテーブルのscoreカラムにアクセスするという意味になるのでしょうか？

attr_reader :scoreは、以下のコードと同じ意味です。

class UpdateScoreCommand
  def score
    @score
  end
end

コマンドクラスはrailsのモデルではありませんので、データベースのカラムとは関係がありません。
ここでは、UpdateScoreCommandという普通のクラスのインスタンス変数として@scoreを使っているだけです。

データベースと関係するのは、ActiveRecordあるいはApplicationRecordを継承したクラスのみです。
railsでは、app/models/以下にあるクラスになります。

def initialize(customer:)の（customer:)ですが（customer)と「：」の有無によって何が違ってくるのでしょうか？
もしよかったら教えていただけないでしょうか？宜しくお願いします。

rubyの文法で、名前付き引数とかキーワード引数などと呼ばれるものです。
このようにメソッドを定義した場合、必ず、メソッド名(customer: 値) という風に使わないとエラーとなります。
引数が２つ、３つとかになって来るとありがたみが出てきます。
普通のメソッドは引数の順番を覚えておかなければいけませんが、キーワード引数であれば、引数に名前がついているので順序は適当で良いです。

あまりいい例が思いつきませんが、

def sum(a:, b:)
  a + b
end

# キーワード引数なら、引数の順序はばらばらでもいい。
puts sum(b: 10, a: 5)
puts sum(a: 30, b: 30)

これを使う理由は、コード自体が説明書になるからですね。
今回の例では引数が１つなので、メリットはありませんが、常にこう書いたほうが楽なので。
実際いろいろやってると、メソッドの引数が３つ、４つ、５つって事が出て来ると思います。
そうなると、順番を確認するために毎回メソッド定義を見なくてはいけないくてしんどいです。

例えば、コマンド引数を増やしてみます。
基本的には＋100ですが、任意に追加するポイントを変更できるようにしたい・・と無理やり条件を考えてみます。

class UpdateScoreCommand

  def initialize(customer:, add: 100)
    @customer = customer
    @score = customer.score
    @add = add.to_i # 文字列とか来るかもしれないので、数値にする
  end

  def run!
    @score.sc1 = @customer.point + @add
    @score.save!
  end
end

customer = Customer.find(1)
c = UpdateScoreCommand.new(customer: customer, add: 500)
c.run!

もし、キーワード引数を使わないとすると、こうですね。

class UpdateScoreCommand

  def initialize(customer, add)
    @customer = customer
    @score = customer.score
    @add = add.to_i
  end
end

c = UpdateScoreCommand.new(customer, 500)

仕事でプログラミングをやっていると数年前に書いたものを修正したりすることがよくあるのですが、
その頃にはもう自分で書いたものでさえ覚えていません。
まずは、コードの全体を把握しなければいけませんが、各メソッドの詳細を見なくても、
たぶんこういう事をしているんだろうな、という想像が出来るコードであって欲しいのです。

c = UpdateScoreCommand.new(customer: customer, add: 500)

と

c = UpdateScoreCommand.new(customer, 500)

では、どっちが良いかという話なんですね。
時が経っていると、自分で書いたコードでありながら、500ってなんだよ？みたいな気持ちになります。
前者もベストとは思いませんが、addって書いてあるので、まぁ500を足すんだろうくらいの予想ができます。
クラス名もUpdateScore。。。って書いてあるし。
この単純な例では、どっちでも良いという思うかもしれませんが、実際のコードはもっと複雑です。
うーん、うまい説明が出来なくて申し訳ないんですが、将来自分が困らないために面倒でもキーワード引数を使っているわけです。