LD_LIBRARY_PATHは、プログラムを実行したときに、それが必要とする共有ライブラリー(拡張子がsoのファイル)を探すディレクトリーを指定するものです。PATHと同じようにコロンで区切って複数の場所を羅列することができます。
共有ライブラリーの場所は/etc/ld.so.conf
というファイルに記述(近年は/etc/ld.so.conf.d/
というディレクトリーがあってその下に複数のconfファイルが存在し、/etc/ld.so.conf
はこれら全てをincludeしているだけなのが一般的か)されます。
LD_LIBRARY_PATHを用いるのは、それら以外に任意のディレクトリーを追加したいとき(ld.so.confには記されていない場所に置かれた自分作成のsoファイルを読み込ませたいとか)です。
PATHについては有り余るほどの資料があるはずなので割愛。