エラーの方ですが、Soushisan_check()が実行されるのは本当に一度だけなのでしょうか?

以下検証です。(都合上sqlite3を使っています。が多分大差ないと思います。)
foo.dbにはテーブルtable1、カラムpiyo、データbarが入っているとします。

# sqlFunc.py

import sqlite3 as sq

foo = sq.connect("./foo.db")
cur = foo.cursor()

def hoge():
    cur.execute("""SELECT piyo FROM table1;""")
    print(cur.fetchall()[0][0])

    cur.close()

if __name__=="__main__":
    hoge()

# sqlExc.py

from sqlFunc import hoge

hoge()
hoge()

以下実行結果です。

bar
Traceback (most recent call last):
  File "/Users/~/sqlExc.py", line 4, in <module>
    hoge()
  File "/Users/~/sqlFunc.py", line 7, in hoge
    cur.execute("""SELECT piyo FROM table1;""")
sqlite3.ProgrammingError: Cannot operate on a closed cursor.

1度目はうまくいきますが、
2度目のhoge()の呼び出しでエラーが発生していることがわかります。
(そのために実行は一度なのかどうかを聞きました。)

一言でいうと、カーソルの開閉が関数内で対になっていないのが原因です。

cur.close()は一度目の実行でなされてしまっているので、実行するにはもう一度接続する必要があります。

ですから、以下のように直してみます。

import sqlite3 as sq

foo = sq.connect("./foo.db")
#cur = foo.cursor() <- 消す

def hoge():
    cur = foo.cursor() # <- こっちに移動

    cur.execute("""SELECT piyo FROM table1;""")
    print(cur.fetchall()[0][0])

    cur.close()

if __name__=="__main__":
    hoge()

こうするとちゃんと2度barが表示されます。

質問者様のコードの場合はこう直すといいと思います。

(9/27 14:30頃更新)

import MySQLdb


mydb = MySQLdb.connect(host="localhost",db="fxpro",user="staff",passwd="****************",charset="utf8")

#*********************************************
#総資産をチェックします。
#総資産がマイナスまたは0以下の場合False
#総資産がプラスまたは1以上の場合True
#*********************************************
def Soushisan_check():

    mycursor = mydb.cursor()
    sql = "Select 総資産 From 総資産 Where ID = 1"

    mycursor.execute(sql)

    result = mycursor.fetchall()

    for row in result:
        if (row[0] == 0):
            return False
        else:
            return True

    mycursor.close()
    # mydb.close() <- 消す

MySQLdbの方で試していないので、これで直るかはちょっと自信が無いですが、試してみてください。

長文失礼しました。m(_ _)m

追記

関数が一つだったので移動する解決方法をのせましたが、
コメントでも書いた通り閉じる関数を別に用意する方が早かったかもしれません。

import MySQLdb


mydb = MySQLdb.connect(host="localhost",db="fxpro",user="staff",passwd="****************",charset="utf8")
mycursor = mydb.cursor()


#*********************************************
#総資産をチェックします。
#総資産がマイナスまたは0以下の場合False
#総資産がプラスまたは1以上の場合True
#*********************************************
def Soushisan_check():
    sql = "Select 総資産 From 総資産 Where ID = 1"

    mycursor.execute(sql)

    result = mycursor.fetchall()

    for row in result:
        if (row[0] == 0):
            return False
        else:
            return True

def closeDb(): # <- 追加
    mycursor.close()
    mydb.close()

from app.app_fxdata import *
from app.app_mysql import *


#総資産をチェックする
print(Soushisan_check())

# 全部の処理が終わったら閉じる
closeDb()