ある変数の値の数だけanimate()を連続再生させたい。

TypeScriptかBabelで変換する必要がありますが、
非同期処理を指定回数回すのであれば、以下のようなコードで対応出来ます。

const anime = ($e, index) => {
    return new Promise((resolve, reject) => {
        $e
            .css({ opacity: 0, })
            .animate({ opacity: 1, },
            {
                duration: 1000,
                complete: () => {
                    resolve(index);
                },
            });
    });
};

const $e = $('div');
(async () => {
    for (let index = 0; index < 5; index += 1) {
        console.log(await anime($e, index));
    }
})();

例）
https://jsfiddle.net/takmatz/z1ayrjy0/

今後のことを考慮すればBabel環境を整えて、
Tak_Matzさんの回答のようなasync/awaitを使ったコードを自分も推奨します。

それを踏まえたうえで、IE対策としてお手軽なes5+polyfillでの回答も。
Promiseを返すFunctionを配列として持たせて、reduceで直列実行する手法です。
var opt1 = {width:***};は直接animate関数に書いてもよかったのですが、
「ここでもパラメータ定義の処理を書けますがいかがでしょう」
という意図で一つ上のスコープに定義にしてます。

'use strict';
/**jQuery依存**/

//配列を用意
var anims = function () {
    var maxsize = 10;
    return Array(maxsize).fill().map(function (ignore, idx) {
        return function ($elem) {
            var opt1 = {
                width: (idx + 1) / maxsize * 100 + '%'
            };
            var opt2 = {
                top: (idx + 1) * 30 + 'px'
            };
            return new Promise(function (resolve) {
                return $elem.animate(opt1).delay(500).animate(opt2, {
                    duration: 500,
                    complete: function complete() {
                        $elem.text(opt1.width);
                        resolve($elem);
                    }
                });
            });
        };
    });
}();
//reduceで直列実行
anims.reduce(function (prev, curr) {
        return prev.then(curr);
    }, Promise.resolve($('div')))
.then(function ($elem) {
    $elem.text('complete');
});

<div>0%</div>

div {
  background:red;
  width: 0%;
}

動作確認（IE11対応）
https://jsfiddle.net/dqqtb48o/6/

一応元ソースが存在します。どうやらBabelなしではもう書けない体に＾＾
https://jsfiddle.net/dqqtb48o/2/

追記：Promise使わなくてもjQueryのqueueで出来ることを思い出しました。
配列でanimateのオプション作って貯めて、最後にdequeueで実行。
ma_a_kiさんのイメージに近いやり方です。
https://jsfiddle.net/dqqtb48o/8/