Edgeの特定のタブを閉じたいです。

何が最終的な目的か知りませんがXAMLで作成されたアプリケーションはUIAutomationで操作します。
EdgeのHTML内の自動操作をしたいのであれば、WebDriverを検討してください。

UI Automationのドキュメントを見てください。
また、Windows SDKをインストールしてinspectというツールを使ってみてください。
これはUIAutomationによる情報の取得と操作を試すことが出来ます。
最新のSDKをインストールすれば
C:\Program Files (x86)\Windows Kits\10\bin\10.0.15063.0\x64
にあります。
Inepectを起動して左側のツリーからエレメントを選び、メニューのActionから行いたい操作を選択します。
なお、左上のドロップボックスでUIAutomationとMSAAを切り替えられますが、UIAutomationを使ってください。

以下はInepectを使用してEdgeを調べ、タブの閉じるボタンを押すところまで実施したサンプルです。
(コピペのロジックが多いです)

COMの設定は以下と同じ
https://teratail.com/questions/88664

using System;
using UIAutomationClient;

namespace ConsoleApp1
{
    class Program
    {   
        [STAThread]
        static void Main(string[] args)
        {
            //タブの名前
            string target_title = "新しいタブ";

            target_title += " タブ";//後ろに必ず付いているようなので足す

            string CLSID_CUIAutomation = "ff48dba4-60ef-4201-aa87-54103eef594e";
            Type type = Type.GetTypeFromCLSID(Guid.Parse(CLSID_CUIAutomation));
            IUIAutomation automation = Activator.CreateInstance(type) as IUIAutomation;

            IUIAutomationElement root = automation.GetRootElement();
            IUIAutomationTreeWalker walker = automation.RawViewWalker;

            IUIAutomationElement edge = null;
            edge = walker.GetFirstChildElement(root);
            while (edge != null)
            {
                string name = edge.CurrentName;
                if(!string.IsNullOrEmpty(name) && name .EndsWith(" ‎- Microsoft Edge"))
                {
                    break;
                }
                IUIAutomationElement next= walker.GetNextSiblingElement(edge);
                edge = next;
            }
            if (edge == null)
            {
                return;
            }

            IUIAutomationElement core_window = null;
            {
                const int UIA_ClassNamePropertyId = 30012;
                var cond = automation.CreatePropertyCondition(
                    UIA_ClassNamePropertyId, "Windows.UI.Core.CoreWindow");
                core_window = edge.FindFirst(TreeScope.TreeScope_Children, cond);
            }
            if(core_window == null)
            {
                return;
            }

            Console.WriteLine(core_window.CurrentName);

            IUIAutomationElement TabsList = null;
            TabsList = walker.GetFirstChildElement(core_window);
            while (TabsList != null)
            {
                string id = TabsList.CurrentAutomationId;
                if (!string.IsNullOrEmpty(id) && id == "TabsList")
                {
                    break;
                }
                IUIAutomationElement next = walker.GetNextSiblingElement(TabsList);
                TabsList = next;
            }

            if(TabsList == null)
            {
                return;
            }
            Console.WriteLine(TabsList.CurrentClassName);

            IUIAutomationElement target_tab = null;
            target_tab = walker.GetFirstChildElement(TabsList);
            while (target_tab != null)
            {
                string name = target_tab.CurrentName;
                if (!string.IsNullOrEmpty(name) && name == target_title)
                {
                    break;
                }
                IUIAutomationElement next = walker.GetNextSiblingElement(target_tab);
                target_tab = next;
            }
            if(target_tab == null)
            {
                return;
            }

            //タブを選択する操作をする
            IUIAutomationSelectionItemPattern select_pattern = null;
            const int UIA_SelectionItemPatternId = 10010;
            select_pattern = target_tab.GetCurrentPattern(UIA_SelectionItemPatternId);
            if(select_pattern == null)
            {
                return;
            }
            select_pattern.Select();
            //適当に待つ
            System.Threading.Thread.Sleep(1000);
            IUIAutomationElement m_tabItemRoot = null;
            m_tabItemRoot = walker.GetFirstChildElement(target_tab);
            if(m_tabItemRoot == null)
            {
                return;
            }

            //閉じるボタンを探す
            IUIAutomationElement AllInputCloseButton = null;
            AllInputCloseButton = walker.GetFirstChildElement(m_tabItemRoot);
            while (AllInputCloseButton != null)
            {
                string id = AllInputCloseButton.CurrentAutomationId;
                if (!string.IsNullOrEmpty(id) && id == "AllInputCloseButton")
                {
                    break;
                }
                IUIAutomationElement next = walker.GetNextSiblingElement(AllInputCloseButton);
                AllInputCloseButton = next;
            }
            if(AllInputCloseButton == null)
            {
                return;
            }

            //ボタンを押す
            const int UIA_InvokePatternId = 10000;
            IUIAutomationInvokePattern invoke_pattern = null;
            invoke_pattern = AllInputCloseButton.GetCurrentPattern(UIA_InvokePatternId);
            if(invoke_pattern == null)
            {
                return;
            }
            invoke_pattern.Invoke();

            Console.ReadKey();
        }

    }
}