UNETの「Send」でクライアント間でメッセージのやり取りがうまくいかない。

UNETの「Send」でクライアント間でメッセージのやり取りを行うために、「NetworkBehaviour」を継承したクラスに以下のコードをアタッチしたオブジェクトを生成。Player Prefubに登録しています。

C#
1const short msg_id = 12345;
2
3private void Start(){
4foreach(NetworkClient nc in NetworkClient.allClients){
5nc.RegisterHandler(msg_id, SendLog);
6}
7}
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9public void SendLog(NetworkMessage log){
10var recvMsg = log.ReadMessage<StringMessage>();
11Debug.Log("SendLog:" + recvMsg.value);
12}
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14void Update(){
15if (Input.GetMouseButtonDown(0)) {
16var msg = new StringMessage("マウス押した");
17NetworkServer.SendToAll(msg_id,msg);
18}
19}

Startで関数を登録(RegisterHandler)し、マウスを押すと登録した「SendLog」関数を呼び出す、というものです。
しかし、上記のコードでホストを作成し、そこにクライアントを1つ接続した状態で、ホスト、クライアントでそれぞれマウスのボタンを押すと、
ホストでは「全てのクライアントでSendLogが2度呼ばれる（Debug.Logが2度行われる）」
クライアントでは「全てのクライアントで一度も呼ばれない（Debug.Logが1度も行われない）」
といった動作をしてしまい、ホストで無いクライアントからメッセージを送ることが出来ません。
どのような修正をすれば意図した動作になるでしょうか。