Unity C# でオブジェクトを移動させたい。

位置が動かない件についてですが、アニメーション関連をすべて取り除いた場合は動きますでしょうか?
もしそういう状況でしたら、こちらのケースに該当するかもしれません。
AnimatorのApply Root Motionをオフにしてみると変化はありますでしょうか。

参考: Unity5でRoot Motionを利用したアニメーションと、その注意点について

キーが一旦押されたら走りつづけるようにするには、毎回キー入力を確認するのをやめ、最初にキー入力があった時に適当な変数に「走行中」であることを示す値を入れて、あとは「走行中」かどうかを見てオブジェクトを走らせるのが妥当ではないでしょうか。

    private bool running = false;

    // Update is called once per frame
    void Update () {
        if (running)
        {
            rb2d.velocity = new Vector2(scroll, rb2d.velocity.y);

            if (/*停止条件...ゴールに到達したかをここで判定*/)
            {
                rb2d.velocity = Vector2.zero; // 追記しました...明示的に速度をゼロにしないと動き続けてしまいますよね
                running = false;
                animator.SetBool("running", false);
            }
        } 
        else
        {
            if (Input.GetKey("return"))
            {
                running = true;
                animator.SetBool("running", true);//走るアニメーションです。
            }
        }
    }

[追記]
停止させる際に、rb2dの速度をゼロにする必要があるかと思い、書き加えました。

using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using UnityEngine;

public class PlayerManager : MonoBehaviour {

    #region hensuu
    private Animator animator;  
    public float speed =1;
    public GameObject rb2dobj;
    private bool start=false;
    #endregion

    void Start () { 
        start=false;
        animator = GetComponent<Animator>();
        rb2dobj= this.gameobject;
        animator.SetBool("running", false);
    }

    void Update () {

        if (Input.GetKey("return")){
           start=true;
           animator.SetBool("running", true);
        }        

        if(start){
            rb2dobj.transform.position.x += speed*Time.deltaTime;
        }
    }


}

こちらでいかがでしょうか。

やっていることは、bool start とゆうフラグを用意し
Enterが押されるとstartがtrueになります（スイッチのONOFF的存在）

そして、動かすオブジェクトのポジションの位置情報にspeedの値を足しています
ここでTime.deltaTimeを掛けておくことで、PCでも携帯でも同じ速度で移動します。

Inspector画面からspeedを変更する事が出来ます。