Pythonのscikit-learnのPCAを使って主成分分析を実行するには

Question

前提

大学のpythonの課題で答えが開示されたのですがarr1がどうしてそうなるのかわからないです。
問題からarr1が(9,5,9),(0.5,0.5,0.2)になることがわかるのですか？
どう考えるのでしょうか教えていただければと思います。

初質問なので足りないところあればいってください
よろしくお願いします。

問題

•以下のプログラムを作成せよ
1.平均(8, 8, 8)、各軸方向の標準偏差が(1, 1, 0.5)の分布に従って三次元ベクトルを100個、乱数を用いて作成（乱数シードは"314"を指定すること）
2.1.のデータ群に対し主成分分析を行った際の第一、第二主成分を出力

実行例：
[-0.65195589  0.65607819 -0.38015118]
[-0.70294748 -0.71092027 -0.02138237]

課題の解答

import numpy as np
import sklearn 
from sklearn.decomposition import PCA

np.random.seed(314)
arr0 = np.random.normal((8,8,8), (1,1,0.5), (100,3))
arr1 = np.random.normal((9,7,9), (0.5,0.5,0.2), (100,3))　←ここです
arr2 = np.concatenate([arr0,arr1])
N=2

pca = PCA(n_components=int(N))
pca.fit(arr2)

print(pca.components_[0])
print(pca.components_[1])

自分の回答

import numpy as np
from sklearn.decomposition import PCA

# 乱数シードを指定
np.random.seed(314)

# 平均(8, 8, 8)、各軸方向の標準偏差が(1, 1, 0.5)の分布に従って三次元ベクトルを100個作成
data = np.random.normal(loc=[8, 8, 8], scale=[1, 1, 0.5], size=(100, 3))

# 主成分分析を実行
pca = PCA(n_components=2)
pca.fit(data)


# 第一、第二主成分を出力
print(pca.components_[0])
print(pca.components_[1])

得られた出力↓

[-0.82369139  0.55806426 -0.10048272]
[-0.56232634 -0.82671648  0.01813685]

補足情報（FW/ツールのバージョンなど）

Google Colaboratory使用

Comments

[can110]

> 1.平均(8, 8, 8)、各軸方向の標準偏差が(1, 1, 0.5)の分布に従って三次元ベクトルを100個

- 「各軸」とはどれとどれ（とどれ）のことか？
- 「ベクトルを100個」とは各軸毎か？合計か？
といったところが問題文からはあいまいだと思うので
まずは出題（解答）者にこれらについて確認すべきかと思います。

[jbpb0]

> 大学のpythonの課題で答えが開示されたのですがarr1がどうしてそうなるのかわからないです。

大学の課題なら、課題を出した人に聞いたらいいと思うのですが

[jbpb0]

以下、課題内容とズレてるかもしれないので、参考程度に見てください

また、課題文には「各軸方向の標準偏差が(1, 1, 0.5)の分布」としか書かれてないので、どのような分布なのか分かりませんが、正規分布と仮定します

「自分の回答」のコードで、

data = np.random.normal(loc=[8, 8, 8], scale=[1, 1, 0.5], size=(100, 3))
↓ 変更
mean = np.array([8, 8, 8])
sx = 1
sy = 1
sz = 0.5
rxy = 1
rxz = rxy
ryz = rxy
cov = np.array([[sx**2, rxy*sx*sy, rxz*sx*sz], [rxy*sy*sx, sy**2, ryz*sy*sz], [rxz*sz*sx, ryz*sz*sy, sz**2]])
data = np.random.multivariate_normal(mean, cov, size=100)

とすれば、生成される100個のベクトルは、方向が全て「1, 1, 0.5」になり、正規分布に従って変わるのはベクトルの大きさだけです
この場合の第一主成分は、「1, 1, 0.5」の比とピッタリ合う「0.66666667 0.66666667 0.33333333」になります

コードの「rxy = 1」の値を「1」よりも小さくすると、生成されるベクトルの方向が「1, 1, 0.5」からズレてくるため、第一主成分は「1, 1, 0.5」の比と合わなくなります
たとえば、「rxy = 0.8」の場合の第一主成分は「0.70700209 0.64651726 0.28664172」です

しかしながら、生成するベクトルの数を増やせば、ベクトルの方向の平均は「1, 1, 0.5」に合ってくるので、第一主成分は「1, 1, 0.5」の比に近くなります
たとえば、「rxy = 0.8」でも、ベクトル数が「10000000」の場合の第一主成分は「0.67227396 0.67230097 0.30993406」となり、ベクトル数が「100」の場合の「0.70700209 0.64651726 0.28664172」よりは「1, 1, 0.5」の比に近くなります

以上、ご参考までに

【追記】
上記の変更をしたコードで、「rxy = 0」でベクトル数が「100」の場合の第一主成分は「0.55806426 -0.82369139 -0.10048272」となり、「得られた出力↓」の「-0.82369139 0.55806426 -0.10048272」と実質同じですね
(最初の二つの数値が逆ですが、それらの軸は標準偏差が同じなので、同等と解釈して)