教本や学習サイトの教材としてでてくる「一行掲示板」や「簡易SNS(Twitter)」をまねれば実現できると思います。
ドットインストールのレッスン一覧に「PHPでウェブサービスを作れるようになろう」というコーナーがあります。ここの PHPでTodo管理アプリを作ろう あたりが参考になりそうです(途中から有料ですが・・・)
本を買うなら Amazon のリコメンドからレビューを見ながら選んでみるとよいでしょう。ざっと見た感じ、「詳細! PHP 7+MySQL 入門ノート」 や 「気づけばプロ並みPHP 改訂版--ゼロから作れる人になる!」がよさげに見えます。
つぎに細かい話ですが、「リアルタイムで確認」というのをどこまで突き詰めるかで開発の難易度が大きく変わります。たとえば Yahoo!天気 のようにページを開いた時点での最新情報が表示されるだけなら簡単ですが、Twitter や 一部の株価確認サイトのようにページを読み込んだ後もバンバン新しい情報が追加・更新されていくような真のリアルタイム性を求めると、Ajax(JavaScript)や、WebSocket といった高度な技術が必要になります。
またタスクの追加・更新も頻繁に行うのであれば競合(AさんとBさんが同時に同じタスクの状態を変更してしまった)を回避するために、データベースを導入しトランザクションと呼ばれる機能をつかったりと、高度な処理が必要になります。
また、そもそも世の中にはオープンソース(フリー)なタスク管理ツールがたくさんあります。
「カンバン」とよばれるツールをご存じでしょうか? Trello というサービスが有名ですが、これのオープンソース版として、Wekanと呼ばれるソフトウェアがあります。
さらに高度なタスク管理をするソフトウェアとして、Redmine が有名です。タスクというよりは、プロジェクト管理システムの領域です。こちらのスライドショー:はじめる! Redmineに目を通してみてください。ピンッとくるものがあったら導入を検討してみてください。
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