プロキシ・サーバーとゲートウェイについて

企業や公共機関、学校などで使われるHTTPプロキシーサーバーは、組織内のネットワークを外部のインターネットと直接接続しない、つまりルーティングを切った状態で、組織内から組織外のウェブサーバーにアクセするするために設けられています。

例えば、
＝＝＝インターネット＝＝＝「プロキシーサーバー」＝＝＝組織内ネットワーク＝＝＝
で、プロキシーサーバーには、LANの口が２つあります。その間をルーティングしなければ、組織内ネットワークとインターネットは直接にIP通信できませんので、外からの攻撃を防御できます。
この場合は、プロキシーサーバーがゲートウェイと言えます（ルーターでは無いケース）。

実際には、そういう例は多分無くて、
＝＝＝インターネット＝＝＝「ファイアーウォール」＝＝＝DMZネットワーク＝＝＝「ルーター」＝＝組織内ネットワーク
という構成になっていて、DMZネットワークにプロキシーサーバーを置きます。
ファイアーウォール（当然ルーターの機能も持っている）とルーターの設定で、インターネットと組織内ネットワークのIP通信をブロックします。
この場合は、プロキシーサーバーでなく、ファイアーウォールがゲートウェイですね。

こんにちは。

Linuxコンピュータをゲートウェイ（ルータ）として使うことができる
（中略）
Linux をゲートウェイとして使うって・・・つまり、これもプロキシ・サーバーですよね？

ゲートウェイという用語は非常に広くてルータも含まれますし、プロキシ・サーバも含まれるようです。（ルータを指すことが多いとは思うのですが、元々の用語の意味的にWikipediaの記載は正しいと思います。）

さて、プロキシ・サーバ != ルータです。ルータはネットワーク層のプロトコルを解釈してルーティングします。プロキシ・サーバはアプリケーション層のプロトコルを解釈して中継します。
アプリケーション層のプロトコルを解釈すると言うことは、対応しないプロトコルは一切中継しないのでセキュリティ的にはより安全性が高まります。
更に接続先を判定して、中継しない等の処理も可能です。ルータよりも複雑な条件で中継するしないを決めることができます。

LAN内に閉じた環境の中にあるプロキシとLANとインターネットの境界に位置するプロキシ、または、そのどちらでもない場合・・・など

LAN内に閉じたプロキシってあまり有用な場面を思いつきません。社内に社内専用のWEBサーバを用意して、超高セキュリティな建物からのアクセスをプロキシで中継する等はあるかも。（本当にあるかどうかは知りません。）
多くは社内とインターネットの間において、ファイヤーウォールやアクセス制限に使うと思います。
後、前回の質問で書かれていたようにインターネット上にもプロキシ・サーバは存在します。前回の質問でikedasさんが回答されているような使い方と思います。

簡単な例えで説明してみます。

Proxyは「代理」と訳されるように、「代わりに通信するサーバー」です。
クライアントがプロキシサーバーにアクセスすれば、プロキシサーバーが通信してデータを拾ってきてくれると思えば良いかと。

ゲートウェイは、他のネットワークとの境界にある「門」です。
自分が所属するネットワークの外にアクセスしたいときに、どこの「門」から出ればよいかを指定し、その「門」でどこへ行けばいいか指示を受けるような感じです。