画面移行で一部の画面を変更する方法

UISegmentedControlとUIContainerViewを使うと良いんじゃないでしょうか。
以下一例です。

import UIKit

class ViewController: UIViewController {


    //これらはUIContainerViewです
    @IBOutlet weak var blueView: UIView!
    @IBOutlet weak var redView: UIView!
    @IBOutlet weak var yellowView: UIView!

    @IBAction func touch(_ sender: UISegmentedControl) {

        let position = sender.selectedSegmentIndex
        print(position)
        //表示したいViewだけfalseにします
        if position == 0 {
            blueView.isHidden = false
            redView.isHidden = true
            yellowView.isHidden = true
        } else if position == 1 {
            blueView.isHidden = true
            redView.isHidden = false
            yellowView.isHidden = true
        } else if position == 2 {
            blueView.isHidden = true
            redView.isHidden = true
            yellowView.isHidden = false
        }

    }

    override func viewDidLoad() {
        super.viewDidLoad()
        blueView.isHidden = false
        redView.isHidden = true
        yellowView.isHidden = true
        // Do any additional setup after loading the view, typically from a nib.
    }

    override func didReceiveMemoryWarning() {
        super.didReceiveMemoryWarning()
        // Dispose of any resources that can be recreated.
    }


}

Storyboard上のView ControllerでUIViewとなっているのがUIContainerViewです。一枚のように見えますが三枚重なっているので注意してください。各UIContainerViewをcontrol + クリックで好きな色のView Controllerと繋ぎます。その時embededを選んでください。
これをビルドすると以下のように動きます。

以下追記です
UISegumentedControlがUIButtonになって場合分けが違う関数になるだけです。以下はUIButtonで実装した場合です。

import UIKit

class ViewController: UIViewController {

    @IBOutlet weak var blueView: UIView!
    @IBOutlet weak var redView: UIView!
    @IBOutlet weak var yellowView: UIView!

    @IBAction func blue(_ sender: UIButton) {
        blueView.isHidden = false
        redView.isHidden = true
        yellowView.isHidden = true
    }

    @IBAction func red(_ sender: UIButton) {
        blueView.isHidden = true
        redView.isHidden = false
        yellowView.isHidden = true
    }

    @IBAction func yellow(_ sender: UIButton) {
        blueView.isHidden = true
        redView.isHidden = true
        yellowView.isHidden = false
    }

    override func viewDidLoad() {
        super.viewDidLoad()
        blueView.isHidden = false
        redView.isHidden = true
        yellowView.isHidden = true
        // Do any additional setup after loading the view, typically from a nib.
    }

    override func didReceiveMemoryWarning() {
        super.didReceiveMemoryWarning()
        // Dispose of any resources that can be recreated.
    }


}

はじめまして。

画面遷移（切り替わり）のときのエフェクトが変わればよいのであれば、
以下が参考になるかもしれません。

[iOS8] Swiftでモーダルの切り替わり方サンプル(modalTransitionStyle)

画面を切替るときのエフェクトを設定することで、めくったりずらしたりと変更が可能です。