以下のようにプルダウンメニューに変更があった場合にその内容をCookieに登録して、そのページが読み込まれた際(mounted)にCookieから登録した値を取り出し、プルダウンメニューの初期値に設定することで解決できました。
HTML
1<div id=show>
2 <select @change="detectChange" v-model="selected">
3</div>
JavaScript
1new Vue({
2 el: '#show',
3 delimiters: ['[[', ']]'],
4 data: {
5 subjects: subjectList,
6 selected: '',
7
8 },
9
10 /* ページ読み込み時に実行される部分 */
11 mounted: function(){
12 //Cookieを全て取得
13 var cookies = document.cookie;
14
15 //取得したCookieを分割する
16 var cookiesArray = cookies.split(';');
17 var cookie = -1;
18 for(var c of cookiesArray){
19 var cArray = c.split('=');
20 if(cArray[0] == 'pulldown'){
21 //console.log(cArray);
22 cookie = cArray[1];
23 }
24 }
25 //確認部分--指定したidの後にCookieの内容を表示する--
26 /* let e = document.getElementById('###');
27 e.insertAdjacentHTML('afterend', '<p>' + document.cookie + '</p>');
28 e.insertAdjacentHTML('afterend', '<p>' + cookie + '</p>'); */
29
30 /* プルダウンの初期値設定 */
31 if(cookie === -1){
32 //cookieに何も登録されていない時
33 this.selected = '全て';
34 }else{
35 this.selected = cookie;
36 }
37
38 var tests = [];
39 //フィルタを掛けてデータを抽出する
40 for(let i=0;i<testList.length;i++){
41 if(this.selected=== '全て'){
42 tests.push(testList[i]);
43 }else if(this.selected === testList[i].subject){
44 tests.push(testList[i]);
45 }
46 }
47 this.test = tests[Math.floor(Math.random()*tests.length)];
48 },
49 methods: {
50 /* テスト画面で解答を表示させる処理 */
51 changeShow: function() {
52 this.isActive = !this.isActive;
53 },
54 /* プルダウンメニューと同期させる処理 */
55 detectChange: function(e) {
56 /* 初期化 */
57 var tests = [];
58 //プルダウンの値を確認する
59 //console.log(e.target.value);
60
61 //cookieにプルダウンの値を登録する
62 document.cookie = 'pulldown=' + e.target.value;
63
64 //フィルタを掛けてデータを抽出する
65 for(let i=0;i<testList.length;i++){
66 if(e.target.value=== '全て'){
67 tests.push(testList[i]);
68 }else if(e.target.value === testList[i].subject){
69 tests.push(testList[i]);
70 }
71 }
72 this.test = tests[Math.floor(Math.random()*tests.length)];
73 },
74 },
75 })