1.既存のMTでレスポンシブ対応
HTMLとCSSを変更すれば、レスポンシブ対応は可能かと思います。
5年以上前に作成されたWebサイトですので、既存コードの一部を修正するだけでレスポンシブ対応にすることは難しいこともあります。
場合によっては、一からコーディングし直すぐらいの作業が必要になると思います。
2.WPへ移行してレスポンシブ対応
MTからWPへ移行し、レスポンシブ対応の作業をするので、当然こちらの方が工数が増えます。
1に比べて費用もこちらの方が高くなるはずです。
MTは基本的に静的ファイル(例:○○○.html)を作成し、リンク先も静的ファイルになります。
一方、WPは動的ファイルを作成するので、MTのようにリンク先が ○○○.html のようになることは通常ありません。
WPへ移行すれば、リンク先が変わるのは避けられないと思います。
WPへ移行してリンク先が変わるのは .htaccess などでリダイレクトの設定して対応する必要があると思います。
SEOに悪影響があるかというのは、リンク先が変わることになると思うので、多少の影響はあるのかと思いますが、どの程度影響あるのか私にはわかりません。
費用
費用ですが、2の方が高いのは確かですが、どの程度のページ数になるかなど内容がわからないためなんとも言えません。
また、発注する制作会社によって金額に開きがあるので、知り合いの制作会社へ相談するのが一番かと思います。
私感
ご存知かもしれませんが...
1を選択する場合ですが、MTを最新のバージョンへアップデートされることをお勧めします。
使用しているMTのプランによりますが、ライセンス版の場合はアップデートするには最新のMTのライセンスを購入する必要があるかと思います。
2を選択する場合ですが、WPは利用者が多いので、MTより狙われやすくセキュリティの対策が欠かせません。
MTの場合はセキュリティ対策しなくてもよいというわけではありません。
ですので、上述したとおり、バージョンアップを勧めております。
WPの場合も本体とプラグインのアップデートは常に行い、パスワードも適切に設定し、SiteGuard WP Plugin などを導入したり、セキュリティ対策を常に行っていく必要があります。
そこら辺は下記が参考になると思います。
私感ではありますが、どちらを選択するにしても、上述したことは必要になるかと思います。
MTやWPのアップデートの管理(納品後)まで引き受けるなら、外注先にそこら辺もあわせてご相談するのがよいかと思います。