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二分木が平衡かどうか調べる関数

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「二分木が平衡かどうか調べる関数を実装してください。平衡木とは、どのノードの2つの部分木も、その高さの差が1以下であると定義します。」

(解答例)
単純に木全体を再帰し、各ノードに対して部分木の高さを計算すれば良い。

public  static int getHeight(TreeNode root) {
        if(root == null) return 0; //基本ケース
        return Math.max(getHeight(root.left),
                getHeight(root.right)) +1;
    }

    public static boolean isBlanced(TreeNode root) {
        if(root == null) return true; //基本ケース

        int heightDiff = getHeight(root.right) - getHeight(root.left);
        if(Math.abs(heightDiff) > 1) {
            return false;
        } else {
            return isBlanced(root.left) && isBlanced(root.right);
        }
    }


このようにすればうまくいきますが、それほど効率的ではありません。各ノードで他の部分木を再帰していますが、これはgetHeightが同じノードで繰り返し呼び出されていることになります。ですので、このアルゴリズムはO(N^2)の計算量になってしまいます。

「各ノードで他の部分木を再帰していますが、これはgetHeightが同じノードで繰り返し呼び出されていることになります。」
この文章がイマイチ理解できません。
ここでいう他の部分木とはrightとleftで指定される子ノードのことで間違い無いですよね?
getHeightが同じノードで繰り返し、呼び出されるとは一体どのような意味なのでしょうか?

お分かりの方、回答お願いします。

補足です。
みなさま、回答ありがとうございます。
大元のノードで高さを算出した後、その高さが1以下だった場合、その子ノードで再び高さが算出されるので、非効率なわけですね。
ここまでは理解できたのですが、なぜO(N^2)になるのでしょうか?
要素数が2倍になると、計算量が4倍になるのはなぜなのでしょうか?

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  • 退会済みユーザー

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    2016/08/31 11:56 編集

    ん・w・

    root.left.right == root で無限ループなんじゃ

    キャンセル

回答 2

checkベストアンサー

+1

//
    public  static int getHeight(TreeNode root) {
        if(root == null) return 0; //基本ケース
        return Math.max(getHeight(root.left),
                getHeight(root.right)) +1;
    }


部分木の高さの算出は、単純に二分木の下に伸びるノード数を数えているものです。

int heightDiff = getHeight(root.right) - getHeight(root.left);


まず左右の部分木の高さをここで求め、差を取っています。

//
        if(Math.abs(heightDiff) > 1) {
            return false;
        } else {
            return isBlanced(root.left) && isBlanced(root.right);
        }


この差が2以上であればその時点で条件に反するためfalseを返しますが、1以下の場合は「各部分木が平衡かどうか」を調べるために再帰をしています。この再帰で、左右の各子ノードからの高さを計算することになります。つまり、大本のノードから一番下までノードを数えたのに、それをまた左右のノードを出発点に数え直すことになるのです。

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+1

# この種の質問はタグ「アルゴリズム」を入れるのがいいと思います。

単純例の効率が悪いのはswordoneさんのご説明の通りです。
効率よくやる方法は、という問題になると思いますが、もしわからなかったら以下をヒントにどうぞ。

  • 深さ優先探索ですべての葉を巡ります。
  • 深さmax, 深さminというのを保持しておくことにし、それぞれの葉をたどったときにその深さでmin,maxを更新します。
  • max-minが1を越えた時点で計算を打ち切り、falseを返します。
  • 深さ優先探索を無事終えられたらtrueを返します。

これならO(N)。
最初の葉を見つけるまでの間min,maxはどんな値にしておくかなどいくつか工夫しどころがあります。

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