AWS LambdaでMySQLの情報を取得したい

現在AWSでWebAPIの開発を行っています。
やろうとしていることは

RDSで立てたMySQLのサーバーの情報をjson形式でAPIから取得できるようにすることです。

LambdaとAPIGatewayを利用してやってみようとしたのですが、
Lambdaにzipをアップして、テストを実行しても思ったように処理が終わりません。
色々試しましたが問題点、解決策がわかりませんでした。
長文になるとは思いますがお付き合いお願いします。

まず、データベースについて記載します。

RDS：MySQL
データベース名：testDB
テーブル情報：testTable (id int, value varchar(10))
testTableの中身：
( 1, testValue1 )
( 2, testValue2 )
( 3, testValue3 )

testTableにある情報を全て取得して
それをjsonにして返すことを目的としてやっています。

DBからの情報の取得と、取得した情報のjsonへの変換はjavascriptとnodeで行いました。

「Runtime」には「Node.js4.3」を選択。
「Code entry type」は「Upload a .ZIP file」を選択。
VPCはDBを立てているVPCを選択。
セキュリティグループもDBと同じものを選択しています。

.zipは以下のようにしてあります。

uploadzip.zip
    ┗index.js
    ┗node_modules
        ┗mysql

index.js

var mysql = require('mysql');

'use strict';
exports.handler = (event, context) => {
    var connection = mysql.createConnection({
      host     : 'RDSからエンドポイントを指定',
      user     : 'MySQLのユーザ名',
      password : 'MySQLのパスワード',
      database : 'testDB'
    });
    connection.connect(function(err) {
      if (err) {
        console.error('error connecting: ' + err.stack);
        return;
      }
      console.log('connected as id ' + connection.threadId);
    });
    connection.query('show tables', function(err) {
      if (err) {
        console.error('error connecting: ' + err.stack);
        return;
      }
      console.log('connected as id ' + connection.threadId);
    });
    connection.query('select * from testTable', function(err, rows, fields) {
      if (err)
      {
        console.log("--err");
        console.log(err);
        throw err;
      }
      console.log(rows);
      console.log(fields);
    });
    connection.end(function(err) {
        context.done();
    });
};

Lambdaでの設定を載せます。

• Code
  Code entry type : Upload a .ZIP file

• Configuration
  Runtime : Node.js 4.3
  Handler : index.handler
  Role : Chose an existing role
  Existing role : lambda_basic_vpc_execution
  VPC : VPCを設定（VPCは全体で1つしか作っていません）
  Subnets : ap-northeast-1a,-northeast-1c
  Security Groups : DBのセキュリティグループと同じものを設定

これで、Lambdaのテストを実行すると

{
  "errorMessage": "2016-07-19T00:07:13.619Z oooooooo-oooo-oooo-oooo-oooooooooooo Task timed out after 3.00 seconds"
}

と赤文字で返って来ます。
jsoneは普通に実行する分には取得したいものが取得できていました。

分かりにくいかもしれませんが困っています。
解決策、問題点を教えて下さい。
よろしくお願いします。
長文になりましたが読んでくださりありがとうございました。