クラスメソッドの引数の->()

tweets: [TWTRTweet]->()が何を指しているのか 
何が戻ってくるのかがわからず、何がわかればわかるようになるのかもわかりません。 
->()で帰ってくるものは何になるのか、ヒントだけでもいただけないでしょうか？

こちらの[TWTRTweet]->()は[TWTRTweet]という引数を取り何も返さない関数を引数として渡している形になります。
ツイートの取得に成功した場合にはtweets変数（中身は関数）に取得したツイートの配列を渡しています。

キーワードとしてはクロージャー (Closure)、トレーリングクロージャ(Trailing Closures)になるでしょうか。
クロージャーについては使い方を含め以前の回答が参考になると思います。

【Swift】クロージャの必要性

今回のコードは若干複雑になっていて、クロージャーを成功、失敗の2つで使用しています。
以下に簡素化してコメントを入れたをコードを載せました、参考にしてみてください。

import UIKit

class ViewController: UIViewController {

    override func viewDidLoad() {
        super.viewDidLoad()

        APIManager.search(["Key": "Value"], tweets: { (tweet) in

            // tweets:クロージャーが呼ばれた時に実行される
            print(tweet)
            //=> ["Tweet1", "Tweet2", "Tweet3"]

        }) { (error) in

            // error:クロージャーが呼ばれた時に実行される
            print(error)
            //=> Error Domain=Error Code=999 "(null)"
        }
    }
}

// 通信クラス
class APIManager {

    class func search(params: [NSObject : AnyObject]!, tweets: [String] -> (), error: NSError -> () )  {

        // paramsを使用してのツイート取得通信処理
        print(params)

        if /* ツイートが取得成功、失敗のフラグ */ true {

            // ツイートが取得出来た時にツイートを返す
            tweets(["Tweet1", "Tweet2", "Tweet3"])
        } else {

            // ツイートが取得失敗時エラーを返す
            error(NSError(domain: "Error", code: 999, userInfo: nil))
        }
    }
}

更に class func search(params: [NSObject : AnyObject]!, tweets: [String] -> String, error: NSError -> String)の様に返り値をつけると値も戻せます。
※ このパターンは少ないと思いますが、、、

import UIKit

class ViewController: UIViewController {

    @IBOutlet weak var imageView: UIImageView!

    override func viewDidLoad() {
        super.viewDidLoad()


        APIManager.search(["Key": "Value"], tweets: { (tweet) in

            // tweets:クロージャーが呼ばれた時に実行される
            print(tweet)
            //=> ["Tweet1", "Tweet2", "Tweet3"]

            return "成功"

        }) { (error) in

            // error:クロージャーが呼ばれた時に実行される
            print(error)
            //=> Error Domain=Error Code=999 "(null)"

            return "失敗"
        }
    }
}

class APIManager {

    class func search(params: [NSObject : AnyObject]!, tweets: [String] -> String, error: NSError -> String)  {

        // paramsを使用してのツイート取得通信処理
        print(params)

        if /* 通信が成功、失敗のフラグ */ true {
            // ツイートが取得出来た時にツイートを返す
            let value = tweets(["Tweet1", "Tweet2", "Tweet3"])
            print(value)
            //=> 成功

        } else {

            // ツイートが取得失敗時エラーを返す
            let value = error(NSError(domain: "Error", code: 999, userInfo: nil))
            print(value)
            //=> 失敗
        }
    }
}

Playgroundで動かそうとしていた例

func test(myVar: Int -> (), myStr: String -> ()) {
    if /* どちらのクロージャーを呼び出すかを判定 */ true {
        myVar(5)
    } else {
        myStr("test")
    }
}

test({ (myVar) in

    print(myVar)
}) { (myStr) in

    print(myStr)
}

質問の追記

上記の書き方はトレーリングクロージャ(Trailing Closures)と言って最後の引数がクロージャーだった場合に、クロージャーをかっこ()の外に記述できるというものですなのでトレーリングクロージャを使用しない場合、以下の様に記述できます。
引数がクロージャー1つの場合はかっこ()を省略できます。
※ 今回のパターンはクロージャーが2つあるのでスッキリ見えませんが、1つの場合は見通しがよくなります。

APIManager.search(["Key": "Value"], tweets: { (tweet) in print(tweet) }, error: { (error) in print(error) })