2000年東京大学の入試問題について

Question

次の条件を満たす正の整数全体の集合をSとおく。
「各けたの数字はたがいに異なり、
どの2つのけたの数字の和も9にならない。」
ただし、Sの要素は10進法で表す。
また、1けたの正の整数はSに含まれるとする。
このとき、次の問いに答えよ。
(1)Sの要素でちょうど4けたのものは何個あるか。
(2)小さい方から数えて2000番目のSの要素を求めよ。

プログラミングで解いてください。
使用言語はC++、Ruby、Pythonのいずれかでお願いします。

ちなみに、私は以下のように解きました。

def in_s?(n)
  flag = false
  ary = n.to_s.split('').map(&:to_i)
  if ary.size == ary.uniq.size
    flag = true if ary.combination(2).map{|i| i.inject(:+)}.all?{|i| i != 9}
  end
  return flag
end

s1 = []
for n in (1023..9876)
  s1 << n if in_s?(n)
end
p s1.size

s2 = []
for n in (1..9876)
  s2 << n if in_s?(n)
end
p s2[1999]

追記
katoyさんのご指摘のように、集合Sをメモリー上に保持しなくても解けます。
その場合、上記の s1 = [] 以下を次のように変更してください。

count = 0
for n in (1023..9876)
  count += 1 if in_s?(n)
end
p count

target_idx = 2000
count = 0
for n in (1..9876)
  count += 1 if in_s?(n)
  break p n if count == target_idx
end

Answer 1

集合 S をメモリー上に保持しない方法で書いてみました。

# coding: utf-8

def check_condition(ary)
  return false unless ary.size == ary.uniq.size
  (0 .. ary.size - 1).to_a.combination(2) do |i, j|
    return false if (ary[i] + ary[j]) == 9
  end
  true
end

count = 0
(0..9).to_a.permutation(4) do |a, b, c, d|
  count += 1 if a > 0 && check_condition([a, b, c, d])
end
puts "4 桁のものは #{count} 個あります。"

target_idx = 2000
count = 0
(1..target_idx * 10).each do |i|
  if check_condition(i.to_s.split('').map {|x| x.to_i})
    count += 1
    if count == target_idx
      puts "#{target_idx} 番目の数は #{i} です。"
      break
    end
  end
end

実行結果：
4 桁のものは 1728 個あります。
2000 番目の数は 8695 です。

Comments

[katoy]

遅延ストリーム　[http://www.geocities.jp/m_hiroi/light/abcruby18.html]
で述べられている 数列の Stream の方法で n 番目のものを求めたり、ある範囲中にある要素数を求めるという解法もあるとおもいます。
(Stream の実装の分だけコードの行数は長くなってしまいますが)

Answer 2

Enumurator::Lazy を使ってみました。

参考：Ruby2.0の新機能、Enumerator::Lazyで遅延リストを扱う http://allabout.co.jp/gm/gc/442905/
> ... Enumerator::Lazyを使って、無限、あるいは巨大なストリームデータを扱う方法を紹介します。 ...

# coding: utf-8
def check_condition(val)
  ary = val.to_s.split('').map{|x| x.to_i}
  return false unless ary.size == ary.uniq.size
  (0 .. ary.size - 1).to_a.combination(2) do |i, j|
    return false if (ary[i] + ary[j]) == 9
  end
  true
end

# 1000 <= n <= 9999 なものをカウントする
ans = (1..9999).lazy.select{|n| check_condition(n)}.drop_while{|n| n < 1000}.count
puts "4 桁のものは #{ans} 個あります。"

# 2000  番目を得る
target_nth = 2000
ans =  (1..Float::INFINITY).lazy.select{|n| check_condition(n)}.drop(target_nth - 1).first(1)
puts "#{target_nth} 番目の数は #{ans[0]} です。"

実行結果は次のようになります。

4 桁のものは 1728 個あります。
2000 番目の数は 8695 です

Comments

[manman]

(1)があるので(2)の答えも4桁かな？と予想がつくのですが、
誘導なしなら、Enumerator::Lazy を使うのも手だと思います。

Enumerator::Lazy の練習として、
2000番目の素数を出力するコードを書いてみました。
require 'prime'

nth = 2000
p Prime.each.take(nth).last

# Enumurator::Lazy を使用
p (1..Float::INFINITY).lazy.select(&:prime?).drop(nth - 1).first