4次元フーリエ変換による音波の解析

Question

4次元フーリエ変換f(x,y,z,t) → F(kx,ky,kz,ω)についての質問です．

現在，Fortranを使い，FFTを実装することにより音波f(x,y,z,t)を解析しようとしています．
ただ，それにより出力されるであろうデータの物理的解釈が上手くいきません．

ここで，4次元フーリエ変換
f(x,y,z,t) → F(kx,ky,kz,ω)
を行った場合，Fは一体どのような意味を持つ値なのでしょうか．

また，この4次元フーリエ変換を用いて，波数kと周波数ωの関係を表すにはどうすれば良いでしょうか．

どうかご回答よろしくお願いいたします．

Comments

[ozwk]

まず、一次元、例えばf(x) -> F(kx)の解釈はうまくいっているんですか?

[seymour]

ご質問有難うございます．
1次元のフーリエ変換，例えばf(x) -> F(kx)に関してですが，
各周波数のスペクトルが算出されるととりあえずは解釈しています．

[ozwk]

では二次元は?

[seymour]

一次元の場合と同じように，それぞれの次元における各周波数のスペクトルが含まれた二次元の量だと思います．

[ozwk]

じゃあ4次元も一緒では?となるので4次元になるといきなり解釈できなくなる理由を教えて下さい。

[seymour]

つまり4次元のフーリエ変換も同じく，
それぞれの次元における各周波数のスペクトルという４次元の量となるんですね．
確かにそうですね，考え至らず申し訳ありません．
ただ，その値を用いて波数kと周波数ωの関係を表したい，
となったらどうすれば良いのでしょうか．

Answer 1

1次元、2次元のフーリエ変換結果の解釈はできるようなので、
4次元もただ次元が増えただけで一緒です。

空間周波数と時間周波数の関係ですが、
空間周波数を変化させた時、F(ω)の形状がどう変わるかをみるなどしたらどうでしょう。
|k|を大きくしたらF(ω)のピークが落ちるとかそういうのです。

Comments

[seymour]

ご回答有り難うございます．

>空間周波数を変化させた時、F(ω)の形状がどう変わるかをみるなどしたらどうでしょう。
ある波数(空間周波数)に対して，
ある時間周波数の波がどの程度含まれているかを見る，
ということで宜しいでしょうか．

例えば，位置座標全ての点について，全ての時間における波のデータが分かっているとして，
上記を行うことで，どんな振動数の波がどれぐらいの波長であるのか，
ということを見ることは出来るでしょうか．

[ozwk]

> どんな振動数の波がどれぐらいの波長であるのか

例えばωに対応してF(k)に鋭いピークを持てば、そう言えるのでは。
対象が音波なのでそういうピーク出るんじゃないですかね。
(音速がほぼ一定でしょうから)

いきなり時空間でやろうとせずに、
x軸を時間的に伝わる波f(x,t)についてフーリエ変換を行い
どんな感じか掴むといいと思います。

[seymour]

>例えばωに対応してF(k)に鋭いピークを持てば、そう言えるのでは。
ωに対応してF(k)にある鋭いピークがあれば，
振動数ωの波が波数kを持っている，と言えるという事でしょうか．

>いきなり時空間でやろうとせずに、
>x軸を時間的に伝わる波f(x,t)についてフーリエ変換を行い
>どんな感じか掴むといいと思います。
f(x,t) → F(kx,ω)の2次元フーリエ変換を行い，
kxとF(ω)，もしくはωとF(kx)の関係を見るということですね．
有り難うございます，まずはそれから取り組んでみたいと思います．