C#においてボタンの色を変える処理を共通化したい。

カスタムコントロールという方法があります。Buttonクラスから継承した新しいクラスを作って、クリックで色が変わる処理はそのクラスの機能としてコーディングします。
フォームに貼り付けるボタンはすべてのその新しいボタンクラスにして、あとは普通のButtonクラスと同じようにボタンごとの機能を書けばいいです。

ここに詳しい解説がありますので試してみてください。

[コメントへの回答]
MSDNの説明どおりに実装しているとすれば、あとは下記のコードを追加するればクリックすると色が変わるボタンコントロールができます。

// 背景色用のプロパティ
protected Color changecolor = Color.FromArgb(255,0,0);    // デフォルト赤
public Color ChangeColor
{
    set
    {
        changecolor = value;
    }
    get
    {
        return changecolor;
    }
}
// クリックイベント
protected override void OnClick(EventArgs e)
{
    // 背景色の変更
    this.BackColor = changecolor;
    // 本来のボタンクリック処理
    base.OnClick(e);
}

上記のコードだと、クリックしたら色が変わりっぱなしになります。元に戻すのであれば、クリックイベントで現在の状態によって、色を変えるような処理を追加する必要があります。

ツールボックスに作成したカスタムコントロールが表示されますので、あとは通常のボタンコントロールのようにドラッグ＆ドロップでフォームに貼り付けて使えます。

private void A()
{
    // 処理A
}

private void DisplayMessage()
{
    MessageBox.Show("Hello, World!");
}

private void SwapBackColors(Button button1, Button button2)
{
    var temp = button1.BackColor;
    button1.BackColor = button2.BackColor;
    button2.BackColor = temp;
}

private void SetBackColor(Button button)
{
    button.BackColor = Color.FromArgb(254, 204, 89);
}


private void button1_Click(object sender, EventArgs e)
{
    A();
}

private void button2_Click(object sender, EventArgs e)
{
    DisplayMessage();
}

private void button3_Click(object sender, EventArgs e)
{
    SwapBackColors(button1, button2);
}

private void button4_Click(object sender, EventArgs e)
{
    SetBackColor((Button)sender);
}

各ボタンごとに処理が異なるというお話ですが、
「処理を共通化したい」ということは、各処理をメソッドとして別に定義し、
それを各イベントハンドラから呼び出したいということで宜しいでしょうか？

[追加回答]
下記画像のように、Button1,Button2で同じイベントハンドラ名を指定することで、
共通のメソッドを呼び出すことが出来ます。

private void button_Click(object sender, EventArgs e)
{
    ((Button)sender).BackColor = Color.FromArgb(254, 204, 89);
}

上記のように記述することで、

1. Button1を押下した際はButton1の背景色を変更する
2. Button2を押下した際はButton2の背景色を変更する

という処理が一つのイベントハンドラにて可能になります。

コントロールの配列を取得もしくは、コントロールをあらかじめ配列に格納して置き、ループで色を変更する処理を回せばどうでしょうか？
例えば、ある関数にコントロールの配列と変更する色を渡す等が考えられます。

拡張プロバイダを作成してみてはいかがでしょうか？
まずプロジェクト内に新規にコンポーネントを作成します。
そのコードを下記のようにします。
それをビルドします。
フォームのデザインを開き、ツールボックスを開くと、ButtonColorChanger なるコンポーネントが増えているので、それをフォームに追加します。
該当するボタンを選択し、プロパティを見ると、「buttonColorChanger1のClickColor」というプロパティが増えています。
そのプロパティを好みの色に変更します。
最後に、実行してボタンをクリックしてみてください。

記

[ProvideProperty("ClickColor", typeof(Button))]
    public partial class ButtonColorChanger : Component, IExtenderProvider
    {
        public ButtonColorChanger()
        {
            InitializeComponent();
        }

        public ButtonColorChanger(IContainer container)
        {
            container.Add(this);

            InitializeComponent();
        }

        #region IExtenderProvider メンバー

        public bool CanExtend(object extendee)
        {
            return true;
        }

        public Color GetClickColor(Button target)
        {
            Color result;
            if (dictionary.TryGetValue(target, out result)) return result;
            return SystemColors.ButtonFace;
        }

        public void SetClickColor(Button target, Color color)
        {
            if (!dictionary.Keys.Contains(target)) target.Click += target_Click;
            dictionary[target] = color;
        }

        void target_Click(object sender, EventArgs e)
        {
            Button button = sender as Button;
            if (button != null && dictionary.Keys.Contains(button)) button.BackColor = dictionary[button];
        }

        private Dictionary<Button, Color> dictionary = new Dictionary<Button, Color>();

        #endregion
    }