C#においてボタンの色を変える処理を共通化したい。

カスタムコントロールという方法があります。Buttonクラスから継承した新しいクラスを作って、クリックで色が変わる処理はそのクラスの機能としてコーディングします。
フォームに貼り付けるボタンはすべてのその新しいボタンクラスにして、あとは普通のButtonクラスと同じようにボタンごとの機能を書けばいいです。

ここに詳しい解説がありますので試してみてください。

[コメントへの回答]
MSDNの説明どおりに実装しているとすれば、あとは下記のコードを追加するればクリックすると色が変わるボタンコントロールができます。

// 背景色用のプロパティ
protected Color changecolor = Color.FromArgb(255,0,0);    // デフォルト赤
public Color ChangeColor
{
    set
    {
        changecolor = value;
    }
    get
    {
        return changecolor;
    }
}
// クリックイベント
protected override void OnClick(EventArgs e)
{
    // 背景色の変更
    this.BackColor = changecolor;
    // 本来のボタンクリック処理
    base.OnClick(e);
}

上記のコードだと、クリックしたら色が変わりっぱなしになります。元に戻すのであれば、クリックイベントで現在の状態によって、色を変えるような処理を追加する必要があります。

ツールボックスに作成したカスタムコントロールが表示されますので、あとは通常のボタンコントロールのようにドラッグ＆ドロップでフォームに貼り付けて使えます。

コントロールの配列を取得もしくは、コントロールをあらかじめ配列に格納して置き、ループで色を変更する処理を回せばどうでしょうか？
例えば、ある関数にコントロールの配列と変更する色を渡す等が考えられます。

拡張プロバイダを作成してみてはいかがでしょうか？
まずプロジェクト内に新規にコンポーネントを作成します。
そのコードを下記のようにします。
それをビルドします。
フォームのデザインを開き、ツールボックスを開くと、ButtonColorChanger なるコンポーネントが増えているので、それをフォームに追加します。
該当するボタンを選択し、プロパティを見ると、「buttonColorChanger1のClickColor」というプロパティが増えています。
そのプロパティを好みの色に変更します。
最後に、実行してボタンをクリックしてみてください。

記

[ProvideProperty("ClickColor", typeof(Button))]
    public partial class ButtonColorChanger : Component, IExtenderProvider
    {
        public ButtonColorChanger()
        {
            InitializeComponent();
        }

        public ButtonColorChanger(IContainer container)
        {
            container.Add(this);

            InitializeComponent();
        }

        #region IExtenderProvider メンバー

        public bool CanExtend(object extendee)
        {
            return true;
        }

        public Color GetClickColor(Button target)
        {
            Color result;
            if (dictionary.TryGetValue(target, out result)) return result;
            return SystemColors.ButtonFace;
        }

        public void SetClickColor(Button target, Color color)
        {
            if (!dictionary.Keys.Contains(target)) target.Click += target_Click;
            dictionary[target] = color;
        }

        void target_Click(object sender, EventArgs e)
        {
            Button button = sender as Button;
            if (button != null && dictionary.Keys.Contains(button)) button.BackColor = dictionary[button];
        }

        private Dictionary<Button, Color> dictionary = new Dictionary<Button, Color>();

        #endregion
    }