javaのプログラミングに関する質問です

①

["Hoge", "Fuga", "Piyo"]で引数に2を指定した場合、

1. リストの中身が["Hoge", "Fuga"]になる
2. "Piyo"が戻り値で返される

がこのメソッドの正しい挙動になります。


で、実際の挙動ですが、

【ループ1週目】
index = 1、i = 1なので
Data[1] = Data[1]

【ループ1週目】
index = 2、i = 2なので
Data[2] = Data[2]

つまり、何周回ってもこのリストの中身は変わりません。
ではなぜ最後の1要素が消えているように見えるかというと、
Count--;によってリストのサイズが変わっているからです。

中身はあるけど最後の要素を参照しなくなっているわけです。

というわけでロジックを大きく変えないようにすると、こんな感じでしょうか。

public E remove(int index){

    // 2個しか入っていないのにindex=2(3個目)を指定されても困るので例外にしておく
    // 何もしなくていいならreturn nullとかでもいいかも
    if (index >= Count) {
        throw new ArrayIndexOutOfBoundsException();
    }
    
    // 戻すのは消す要素なので消す前に取っておく
    E res = get(index);
    
    // iの場所にindexの場所の値を入れる
    for(int i = index; i < Data.length; i++){
        
        // 2番目に3番目の値を入れたいとかそういう感じの意味だと思うので
        // 先にindexを進めておかなくてはいけない（Data[++index]でもいいけどややこしい気がする）
        index++;
        
        // 1こ削除するということは最後はからっぽになる
        if (index >= Data.length) {
            Data[i] = null;
            
        // それ以外はもそもそと入れ替えてあげる
        } else {
            Data[i] = Data[index];
        }
    }

    // 1個減った！
    Count--;
    
    return res;
}

②

「新たに箱を用意するように設定しろ」というのがいいヒントだと思います。
つまり配列という箱を新しく作ってあげれば良いわけです。

public boolean add(E e){

    // 満員なので拡張してあげる
    if (Count >= Data.length) {

        // 10大きい新しい箱を用意
        String[] newData = new String[Data.length + 10];

        // 全部移動
        for (int i = 0; i < Data.length; i++) {
            newData[i] = Data[i];
        }

        // 箱を入れ替え
        Data = newData;
    }

    Data[Count] = (String)e;

    Count++;
    return true;
}

③

数だけ変わっていて中身を更新していないので参照できるだけですね。
②と同じで空っぽの箱を新たに作ってあげれば良いかと。

public void clear(){
    Data = new String[10];
    Count = 0;
}

いろいろと気になる点はありますが、
一度にたくさん指摘されても混乱するかと思うので、
とりあえずは質問に対する回答のみにしておきます。