ガチャの期待値の計算色

Question

お世話になっております。
5%で当たるガチャがあったとして、それを引く期待値はどうやって求めればいいのでしょうか？

同じ確率のものを全て集めるというのはクーポンコレクターモンダイでわかりました。

皆様ありがとうございます！
今回は
http://blogs.yahoo.co.jp/p1y7b6q3v5x/16275773.html
このページを参考にしました。
む、難しい^^; みなさんのアンサーも理解できていない始末です。

Answer 1

期待値というのは、宝くじの当せん金のように結果に対する値が決まってないと定義出来ません。
仮に当たりが1、はずれが0だとすれば、期待値は確率と全く同じで5/100になります。

もしここで言う「期待値」が引く回数の期待値を意味しているのであれば、次のように求めます。
1回目で当たる確率は0.05
2回目で当たる確率は、1回目で外して2回目で当たる確率なので0.950.05
3回目で当たる確率は、2回連続で外して3回目で当たる確率なので、0.95^20.05
…
k回目で当たる確率は、(k-1)回連続で外したあとk回目で当たる確率なので、0.95^(k-1)*0.05
最大k回引いて初めて当たるまでに引く回数の期待値をEkとすると、

// Ekに0.95を掛け、各項を1つ右にずらす
       Ek = 1*0.05 + 2*0.95*0.05 + 3*0.95^2*0.05 + … +     k*0.95^(k-1)*0.05
-) 0.95Ek =          1*0.95*0.05 + 2*0.95^2*0.05 + … + (k-1)*0.95^(k-1)*0.05 + k*0.95^k*0.05
 --------------------------------------------------------------------------------------------
   0.05Ek =  {0.05 +   0.95*0.05 +   0.95^2*0.05 + … +       0.95^(k-1)*0.05}- k*0.95^k*0.05

最終項以外の部分{}は、初項0.05,公比0.95,項数kの等比数列の和なので、
(0.05*(1-0.95^k))/(1-0.95)=1-0.95^k
よって、Ek = {(1-0.95^k)-(0.05k*0.95^k)}/0.05 = 20-(20-k)*0.95^k
求める期待値は、このkを無限大にした時のEkの極限と考えられます。
一般に(整式)/(指数関数)(今指数関数部分は底が1より小さいため、逆数で割っていると考える)は、
整式のよりも指数関数のほうが速く発散するので、(20-k)*0.95^k → 0 (k → ∞)となります。
よって、Ek → 20 (k → ∞)となります。

Answer 2

以下のページの"例"という項を参照してください。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%9F%E5%BE%85%E5%80%A4

Answer 3

ガチャの結果の平均は出せないのと同じように、期待値を求めることはできません。

本来の質問が、1回100円で引くことができるくじで、１等（確率５％）を当てるために必要な金額を求めたい、というのであれば、くじの条件（無限に引けるのか等）によって、求めることもできます。