巡回セールスマン問題のビット演算について

Question

巡回セールスマン問題のpythonでの解法で「x^(1<<y)」というbit演算でなぜyが含まれていない部分集合がもとまるのでしょうか？

v, e = map(int, input().split())

inf = 10**7
edges = [[inf]*v for _ in range(v)]

for i in range(e):
    s, t, d = map(int, input().split())
    edges[s][t] = d

#Dpは全体集合の部分集合Sについて最後がvであるという制約の下で順序を最適化したときのSの中での最小コスト
dp = [[inf]*v for _ in range(2**v)]
dp[0][0] = 0

#集合（訪れたか訪れていないかを表す二進数）
for x in range(2**v):
    #最後に訪れたノード
    for y in range(v):
        #最後に訪れた以外のノード
        for z in range(v):
            #1.すでに訪れたかどうか 2.最後に訪れたノードではないか 3. yとzはそもそもつながっているのか
            if ((x >> y) & 1) and y != z and edges[z][y] < 10 ** 6:
                
                dp[x][y] = min(dp[x][y], dp[x^(1<<y)][z]+edges[z][y])

if dp[-1][0] > 10**6:
    print(-1)
else:
    print(dp[-1][0])

Comments

[nanoseeing]

（質問を書いていましたが誤解した内容でした）

x =
0010101

y =
0010000

xとyのxor演算
=
0000101

となり、yが含まれないxの部分集合になりますね。

[takuyaKK]

なるほど！分かりやすい解説ありがとうございます！

Answer 1

(x >> y) & 1がゼロでないという条件は、xの二進表記の下からyビット目が1であるという意味です。
その条件の下では、x^(1<<y)は、xの二進表記の下からyビット目を反転して0とするので、yが含まれていない部分集合が得られます。