アニメーションで動かしたUIButtonのタップイベントの起こし方

ユーザの操作を受け付けるオプションを指定して下さい。

UIView.animateWithDuration(duration, delay: 0,
    options: [.AllowUserInteraction],                     //←これ
    animations: { () -> Void in
        // アニメーションする処理
        self.charaBtn.frame.origin.x = nextx
        self.charaBtn.frame.origin.y = nexty
    }) { (finished) -> Void in
        self.initAnime()
}

ちょっと検索してみたところ、
http://anz-note.tumblr.com/post/66976503846/続uiviewアニメーション奮闘記-o
でhitTestを使った例を見つけました。

この記事に書かれてあるBaseViewの使い方が分からなかったのであれば、以下のようにすれば使えると思います。
1.記事に書いてあるBaseViewを自分のプロジェクトに取り込む(swiftで書きたければswiftに変換)
2.StoryboardにUIViewを貼り付け、そのクラスをBaseViewに変更
3.BaseViewの中にUIButtonを貼り付ける。(このUIButtonをアニメーションさせる)
これで、アニメーション中のUIButtonをタップするとTouchDownイベントが発生すると思います。

(4/13 15:00追記)
追伸します。
その記事通りにできるかどうかちょっと試してみたところ、hitTestは複数回発生することがあるのでTouchDownイベントも複数回発生してしまうようです。それで問題ないならこのまま使えば良いと思いますが、通常、ボタンのタップはタッチを離した時(TouchUpInside)に検出するものという点も気になるので、その点を含めて代替案を作ってみました。

import UIKit

class BaseView: UIView {

    override func touchesBegan(touches: Set<UITouch>, withEvent event: UIEvent?) {
        let touchPoint = touches.first!.locationInView(self)
        for subView in self.subviews {
            if subView is UIButton {
                let layer = subView.layer.presentationLayer() as! CALayer
                if CGRectContainsPoint(layer.frame, touchPoint) {
                    let button = subView as! UIButton
                    button.sendActionsForControlEvents(.TouchDown)
                }
            }
        }
    }

    override func touchesEnded(touches: Set<UITouch>, withEvent event: UIEvent?) {
        let touchPoint = touches.first!.locationInView(self)
        for subView in self.subviews {
            if subView is UIButton {
                let layer = subView.layer.presentationLayer() as! CALayer
                if CGRectContainsPoint(layer.frame, touchPoint) {
                    let button = subView as! UIButton
                    button.sendActionsForControlEvents(.TouchUpInside)
                }
            }
        }
    }
}

1.BaseViewを上記のコードで作成する。(hitTestは実装しない)
2.StoryboardにUIViewを貼り付け、そのクラスをBaseViewに変更する。
3.BaseViewの中にUIButtonを貼り付ける。(このUIButtonをアニメーションさせる) 
4.貼り付けたUIButtonの「User Interaction Enabled」のチェックをOFFにする。

これでボタンの上でタッチ開始した時にTouchDownが発生し、ボタンの上でタッチを離した時にTouchUpInsideが発生すると思います。
もうちょっとちゃんとするなら、タッチ開始時にボタンをキャプチャして、ボタンの表示をハイライトにし、タッチを離した時にボタン内ならTouchUpInsideを発生させ、ボタン外で離したらTouchUpOutsideを発生させないといけないですが、そこまで求めているかどうかわからないので、ここまでにしておきます。
必要なら上記コードを改造してタッチ中のボタンをキャプチャする実装にすればさほど難しくなくできると思います。