値が空の場合は全てのタームを検索結果として表示したい

前提

wordpressで地域ポータルサイトを制作中です。
店舗個別ページはカスタム投稿で作成しました。この店舗個別ページを検索したく、以下の仕様で検索システムを実装途中です。

カスタム投稿：restaurant
カスタム分類1：area_cat（エリア指定は２階層都道府県-市区町村）
カスタム分類2：genre_cat（ジャンル指定は２階層親カテゴリ-子カテゴリ）
カスタム分類1に属するターム：allarea（全国を指定する際に使用、都道府県と同階層）

ページ遷移
１、トップページにて、都道府県（例：東京都）を選択
２、東京都の飲食店一覧が表示される（テンプレート：taxonomy-area_cat.phpを使用）、このページに市区町村とジャンルで絞り込むエリアを設置（東京都以下の市区町村×ジャンルでの絞り込み、例：中央区×和食など）。
３、「中央区×和食」で絞り込んだ記事一覧が表示される
上記のような流れで検索結果ページまでたどり着くことができました。

###実現したいこと
上記ページ遷移の「２」で、市区町村が選択されず、ジャンルのみ選択された場合、検索結果ページ（ページ遷移「３」）で、「東京都×和食」の結果を表示させたいです。
「市町村選択ページで、何もチェックされなかった場合、全てのタームを表示する＝area_catが空だった場合、全ての子タームにチェックが入ったことにする」という考え方で、以下のコードを試しました。

該当のソースコード

taxonomy-area_cat.php

<form action="<?php echo get_post_type_archive_link('restaurant'); ?>" method="get">

<h3>エリアを選択（市町村一覧を表示しています）</h3>
エリアを選択（市町村一覧を表示しています）
<?php
$my_id = get_queried_object_id();
?>
<?php
$arg = array(
'hide_empty'=>false,
'parent'=>$my_id,
'orderby' =>'ID'
);
echo my_tax_checkbox('area_cat',$arg);
?>

<h3>ジャンルを選択</h3>
<!-- 一括で出力する方法が分からず親タームごとに表示させました。もっとスマートな書き方があると思うのですが...-->
<ul>
<li><div class="main_menu"><i class="fas fa-pencil-alt"></i>和食</div>
<ul class="sub_menu">
<?php
$taxonomy_name = 'genre_cat';
$term_id = '1'; 
$termchildren = get_term_children( $term_id, $taxonomy_name );
foreach ( $termchildren as $child ) :?>
<?php $term = get_term_by( 'id', $child, $taxonomy_name );?>
<li><input type="radio" id="<?php echo $term->slug; ?>" name="genre_cat" value="<?php echo $term->slug; ?>"><label for="<?php echo $term->slug; ?>"><?php echo $term->name; ?></label><div class="radio-check"></div></li>
<?php endforeach; ?>
</ul>
</li>
<li><div class="main_menu"><i class="fas fa-pencil-alt"></i>イタリアン</div>
<ul class="sub_menu">
<?php
$taxonomy_name = 'genre_cat';
$term_id = '2'; 
$termchildren = get_term_children( $term_id, $taxonomy_name );
foreach ( $termchildren as $child ) :?>
<?php $term = get_term_by( 'id', $child, $taxonomy_name );?>
<li><input type="radio" id="<?php echo $term->slug; ?>" name="genre_cat" value="<?php echo $term->slug; ?>"><label for="<?php echo $term->slug; ?>"><?php echo $term->name; ?></label><div class="radio-check"></div></li>
<?php endforeach; ?>
</ul>
</li>
</ul>

<input type="submit" value="検索">
</form>

functions.php

//複合検索
function my_tax_checkbox($tax,$arg) {
    $qv = get_query_var($tax);
    $terms = get_terms($tax,$arg);
    $output = '';
    foreach($terms as $t) {
        $checked = '';
        if(is_array($qv)) {
            if(in_array($t->slug,$qv)) $checked = ' checked';
        } else {
            if($t==$qv) $checked = ' checked';
        }
        $output .= '<li class="list__item"><label class="label--checkbox"><input type="checkbox" class="checkbox" name="'.$tax.'[]" value="'.$t->slug.'"'.$checked.'><span>'.$t->name.'</span></label>'."\n";
    }
    echo $output;
}

search.php
(他の方の過去の質問を参考にし、見よう見まねで入力してみました）

<?php
$tax01 = $_GET['area_cat'];
$tax02 = $_GET['genre_cat'];

/*  条件取得 */
if( !empty($tax01) ) {
	$taxquerysp = array(
		'taxonomy'=>'area_cat',
		'terms'=>$tax01,
		'field'=>'slug',
		'operator'=>'AND'
	);};
		
if($tax01){
    $taxquerysp = array(
            'taxonomy'=>'area_cat',
            'terms'=> $tax01,
            'field'=>'slug',
            'operator'=>'AND'
            );
}
			
if($tax02){
    $taxquerysp = array(
            'taxonomy'=>'genre_cat',
            'terms'=> $tax02,
            'field'=>'slug',
            'operator'=>'AND'
            );
}
			
query_posts( array(
	'paged' => $paged ,
	'posts_per_page' => 10,
	'post_type' =>'restaurant',
	's' => $s,
	'tax_query' => array( 
		$taxquerysp,
		'relation' => 'AND'
		)
	)
);
?>

<?php if ( have_posts() ) : ?>
	<?php while ( have_posts() ) : the_post(); ?>
〜

そもそもformを記載するテンプレートがいけない！なんてこともあるのでしょうか。
ウェブで検索するも色々な情報があり、混乱しています。。
かれこれ１週間悩み続けております。。
どなたか助けてください！！！