冒頭で引用なさっている用語説明、「共有ライブラリ」のはむしろ「ライブラリ」の説明というべきです。そして「API」の説明は本質を外しているなと感じます。
まずライブラリとAPIの違い。ライブラリは具体物、もう少し踏み込むと具体的なファイルなんです。そこにはプログラムから利用できる部品が格納されています。部品というのはクラスや関数といった形でです。
APIは「アプリケーション・プログラミング・インターフェース」の略であることからわかるように、インターフェース、呼び出し方、使い方のことです。
ある機能をプログラムから使ってもらえるように提供するので、それはどういう使い方をするとどういう結果が得られるものですよという取り決めがAPI。
だから、ライブラリがAPIであることもあります。ライブラリファイルとその関数仕様書のセットはAPIです。OSがアプリケーションソフトに提供している機能群もAPIです。
ネットワークを通じて提供される機能、中でも最近主流のHTTPを通じて提供されるプログラミング機能はWeb APIと呼ばれますが、これはURLとその仕様書のセットですね。これを単に「API」と呼ぶ界隈もあります。
というわけで、「ライブラリは具体的なファイル、APIは利用できる具体物各種+仕様書」だとご理解ください。
(共有でない)ライブラリと共有ライブラリの違いは、ユーザープログラムといつ結合されるかです。ビルド時に結合されるのが共有でないもの、実行時にメモリ上で結合されるのが共有です。
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