Q&A
169.254.0.0/16に所属するIPはlink-localと呼ばれるIPで(RFC3927)インターネットへルーティングされません。その為ローカルネットワークにあるWindows10とは接続できてもルーターはインターネットへ接続できないことになります。DHCPサーバーからIPを取得できない場合に自動的に割り当てられるように設定されていることが多いので、DHCPサーバーが機能しているかまず確認してください。
Raspberry Pi4を有線LANに接続し、ソフトウェアのアップデートを試みましたが、エラーが起きてしまいます（有線LANは本体のLAN差込口付近が光っているので、物理的な問題ではなさそうです）。
OSは2019-07-10-raspbian-buster-full、試したコマンドは以下の通りです。
pi@raspberrypi:~ $ sudo apt-get update
エラー:1 http://raspbian.raspberrypi.org/raspbian buster InRelease
'raspbian.raspberrypi.org' が一時的に解決できません
エラー:2 http://archive.raspberrypi.org/debian buster InRelease
'archive.raspberrypi.org' が一時的に解決できません
パッケージリストを読み込んでいます... 完了
W: http://raspbian.raspberrypi.org/raspbian/dists/buster/InRelease の取得に失敗しました 'raspbian.raspberrypi.org' が一時的に解決できません
W: http://archive.raspberrypi.org/debian/dists/buster/InRelease の取得に失敗しました 'archive.raspberrypi.org' が一時的に解決できません
W: いくつかのインデックスファイルのダウンロードに失敗しました。これらは無視されるか、古いものが代わりに使われます。
pi@raspberrypi:~ $ ip a
1: lo: <LOOPBACK,UP,LOWER_UP> mtu 65536 qdisc noqueue state UNKNOWN group default qlen 1000
link/loopback 00:00:00:00:00:00 brd 00:00:00:00:00:00
inet 127.0.0.1/8 scope host lo
valid_lft forever preferred_lft forever
inet6 ::1/128 scope host
valid_lft forever preferred_lft forever
2: eth0: <BROADCAST,MULTICAST,UP,LOWER_UP> mtu 1500 qdisc mq state UP group default qlen 1000
link/ether dc:a6:32:9f:93:fd brd ff:ff:ff:ff:ff:ff
inet 169.254.237.88/16 brd 169.254.255.255 scope global noprefixroute eth0
valid_lft forever preferred_lft forever
inet6 fe80::fda6:1638:1822:e47e/64 scope link
valid_lft forever preferred_lft forever
3: wlan0: <BROADCAST,MULTICAST> mtu 1500 qdisc noop state DOWN group default qlen 1000
link/ether dc:a6:32:9f:93:fe brd ff:ff:ff:ff:ff:ff
pi@raspberrypi:~ $
【追記】
pingは同じローカルネットワークのWindows10に届いています。
自己解決
