計算順序によって計算結果が異なる

Question

1/n^2をn=1からn=100000の範囲で足していくプログラムをCで組んだのですが、n=1から順に足して総和を求める場合と、n=100000からnを1ずつ減らして総和を求める場合とでは計算結果が異なるのはなぜですか？

該当のソースコード

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main(){
  int i, j, n;
  float ans1, ans2, pi1, pi2;

  n = 100000;
  ans1 = 0.0;
  ans2 = 0.0;

  for(i = 1; i < n; ++i){        ///n=1から順に足して総和を求める場合
    ans1 += (1 / pow(i, 2));
  }
  pi1 = sqrt(ans1 * 6);
  printf("1. pi=%f\n", pi1);

  for(j = 100000; j > 0; --j){　　///n=100000からnを1ずつ減らしていき総和を求める場合
    ans2 += (1 / pow(j, 2));
  }
  pi2 = sqrt(ans2 * 6);
  printf("2. pi=%f\n", pi2);

  return 0;
}

###実行結果

1. pi=3.141393
2. pi=3.141583

Answer 1

情報落ちという現象が起きています。

大きな数に小さな数を足すと、下の桁がはみ出るので実質的に切り捨てられてしまい、足される値が小さくなります。

Comments

[tomo.223]

どちらの計算方法でも情報落ちが起きているのですか？起きたうえでどうして計算結果に差が出るのでしょうか。

[maisumakun]

小さい方から計算していくと、「大きな数に小さな数を足す」という意味ではましになるので、情報落ちする量も少なくなります。

Answer 2

for(i = 1; i < n; ++i){ ///n=1から順に足して総和を求める場合

i は、１から９９９９９までの範囲です

for(j = 100000; j > 0; --j){　　///n=100000からnを1ずつ減らしていき総和を求める場合

jは、１０００００から１までの範囲です

Comments

[maisumakun]

その1個分より差は明らかに大きいです。