ランダムクイックソートの計算量の違い

Question

質問

一般的なランダムクイックソートから以下のrandomQuickSort1(target, left, right)とrandomQuickSort2(target, left, right) を作りました。
randomQuickSort1(target, left, right) では数秒で終わるものの、randomQuickSort2(target, left, right) では時間がかかる配列を探しています。

用意されたクイックソート

partition(target, left, right) は pivot より大きい数字を左側に、小さい数字を右側に寄せて分割する関数です。
randomQuickSort1(target, left, right) は分割部分の左右のうち短い方からソートしていく関数ですが、randomQuickSort2(target, left, right) は分割部分の左側からソートしていく関数です。

int partition(int* target, int left, int right) {
    // ******************変更点******************
    int random = right - 1;
    // ******************変更点******************    
    // Exchange target[right] and target[random].
    int tmp = target[right]; target[right] = target[random]; target[random] = tmp;
    int pivot = target[right];
    int i = left-1; // i scans the array from the left.
    int j = right;  // j scans the array from the right.
    for (;;) {
        // Move from the left until hitting a value no less than the pivot.
        for(i++; target[i] < pivot; i++){}
        // Move from the right until hitting a value no greater than the pivot.
        for(j--; pivot < target[j] && i < j; j--){}
        if (i >= j)  break;
        // Exchange target[i] and target[j].
        tmp = target[i];  target[i] = target[j];  target[j] = tmp;
    }
    // Exchange target[i] and target[right].
    tmp = target[i];  target[i] = target[right];  target[right] = tmp;
    return i;
}

void randomQuickSort1(int* target, int aLeft, int aRight) {
    int left = aLeft; int right = aRight;
    while (left < right) {
        int i = partition(target, left, right);
        if( i - left <= right - i ){ // The left interval is shorter.
            randomQuickSort1(target, left, i-1);
            left=i+1;
        }else{                       // The right interval is shorter.
            randomQuickSort1(target, i+1, right);
            right=i-1;
        }
    }
}

void randomQuickSort2(int* target, int aLeft, int right) {
    int left = aLeft;
    while (left < right) {
        int i = partition(target, left, right);
        randomQuickSort2(target, left, i-1);
        left = i+1;
    }
}

一般的なランダムクイックソート

// 変更前のpartition関数
int partition(int* target, int left, int right) {
    // Select a number between left and right at random.
    int random = left + rand() % (right - left + 1);
    // Exchange target[right] and target[random].
    int tmp = target[right]; target[right] = target[random]; target[random] = tmp;
    int pivot = target[right];
    int i = left-1; // i scans the array from the left.
    int j = right;  // j scans the array from the right.
    for (;;) {
        // Move from the left until hitting a value no less than the pivot.
        for(i++; target[i] < pivot; i++){}
        // Move from the right until hitting a value no greater than the pivot.
        for(j--; pivot < target[j] && i < j; j--){}
        if (i >= j)  break;
        // Exchange target[i] and target[j].
        tmp = target[i];  target[i] = target[j];  target[j] = tmp;
    }
    // Exchange target[i] and target[right].
    tmp = target[i];  target[i] = target[right];  target[right] = tmp;
    return i;
}

void randomQuickSort(int* target, int left, int right ) {
    if (left < right) {
        int i = partition(target, left, right); // i: Position of the pivot.
        randomQuickSort1(target, left, i - 1);
        randomQuickSort1(target, i + 1, right);
    }
}

試したこと

昇順にソート済み配列、降順にソート済み配列を試しましたが、両者の関数に実行時間の差はありませんでした。

Answer 1

非常に難しい質問です。コンパイラや実行環境によって左右されるので具体的な例示はできないのですが、関数2のほうが時間がかかる、というケースはあります。例えば、

ピボットが常に一番右に来るようになっている
関数1の生成コードで、分岐予測が常に成功する
関数呼び出しのコストが大きい

このような場合には、確かに関数2の実行時間は伸びます。伸びると言っても、関数呼び出しの深さは最大でもnなので、伸びる時間はO(n)となり、最悪実行時間O(n^2)と比べるとオーダーが低いので、全実行時間に対する割合としては、配列の長さが小さいときにむしろ顕著となります。
質問者さんのケースでは、昇順整列済みの配列でも観測できる有意な差が出なかったとのことなので、おそらく観測できないぐらい小さな差であるか、上に述べたような分岐予測のコストが大きいかのどちらかだと思われます。

このあたりの話は、理学部の五十嵐健夫教授が詳しいと思うので、経緯を伝えてオフィスアワーをとってもらうのもいいと思います。