画像処理のフーリエ変換に関して

Question

逆フーリエ変換の式って右辺の∮が-無限〜無限ですが、デジタル処理で無限は使えないと思いますが、どうやってpcなどのデジタルではFωとωの縦線のグラフから逆フーリエ変換を行なっているのでしょうか？
デジタル処理出来るように-2π〜2πで積分するのでしょうか？だとしたらフーリエ変換する前の式は導けるのでしょうか？
だとしたら、なぜ-無限〜無限ではなく-2π〜2πの積分で元の式が導けるのでしょうか？

もう一つ、
サンプル値(5,2,-1,2)をサンプリング定理により式を再生するとf(x)=2+3cosxとなるそうなのですが、どうやって計算してf(x)を求めたのか過程の計算を教えてください！### ope

Answer 1

離散フーリエ変換(DFT:discrete Fourier transform)が用いられます。
N個のデータ f(x) : x = 0~N-1 の繰り返しが延々と無限に続くと
見做して変換を行います。

※ なので当然誤差はつきものです。

Comments

[退会済みユーザー]

すいません。わかりにくいです。

[episteme]

リンク先(Wikipedia)を参照してください。

[退会済みユーザー]

あの、なぜフーリエ逆変換に関して聞いているのん離散フーリエのリンクを張ったのでしょうか？

[episteme]

デジタルだから離散値でしょ？

[退会済みユーザー]

ではデジタルに関して、
サンプル値(5,2,-1,2)をサンプリング定理により式を再生するとf(x)=2+3cosxとなるそうなのですが、どうやって計算してf(x)を求めたのか過程の計算を教えてください。

[episteme]

わからん。x=0, 1, 2, 3 に対して f(x) = 5, 2, -1, 2 なんですか?
x = 0, π/2, π, 3π/2 なら確かに f(x) = 2 + 3cosx になりますが。

[退会済みユーザー]

ですから、サンプル値(5,2,-1,2)に関してサンプリング定理を使うと f(x) = 2 + 3cosxになるんです。
サンプル値はFnです。

[episteme]

「サンプリング定理」:
　周波数 f の成分を求めるには 2f 以上のサンプリング周波数でなくてはならない

これをどう適用しても f(x) = 2 + 3cosx は導出できないのでは?
わかんないですごめんなさい

[退会済みユーザー]

＞＞「サンプリング定理」:
＞＞周波数 f の成分を求めるには 2f 以上のサンプリング周波数でなくてはならない
わからないのにアドバイス
していることに驚きです。多分間違っているかもしれないので
ねんのために調べます。

[episteme]

あなたの言う「サンプル値(5,2,-1,2)に関してサンプリング定理を使うと f(x) = 2 + 3cosxになるんです。」が わからない(理解/納得できない）ってことです。

「サンプル値(5,2,-1,2)に関してサンプリング定理を使うと f(x) = 2 + 3cosxになるんです。」が正しいのかがわかりません。調べていただければうれしい。

[退会済みユーザー]

そうですか。

[episteme]

> わからないのにアドバイスしていることに驚きです。

失礼じゃありませんかね?

[fana]

"x"との関係が全く述べられていない４個のスカラー値の列に関して，"f(x)=..."とか言われても他者には話の意味が通じない．
だから，
> x=0, 1, 2, 3 に対して f(x) = 5, 2, -1, 2 なんですか?
という確認が必要になっているわけ．
5というサンプル値だけでなく，それをサンプリングした時刻(と言ってよいか?)たるxの値も示さなければ，x軸に関する周波数の話とかできない．

[episteme]

そう、質問主がそこらへんを語ってくれんことには質問の体をなさない。
> x = 0, π/2, π, 3π/2 なら確かに f(x) = 2 + 3cosx になりますが。
と答えた。

[退会済みユーザー]

fanaさん、ありがとうございます。

[episteme]

で、調査の結果は?

[fana]

（通知が来たので見に来てみれば，全く無意味な…）

> サンプル値(5,2,-1,2)をサンプリング定理により式を再生するとf(x)=2+3cosxとなるそうなのですが

「なるそうなのですが」と言うからには，情報ソースが存在するのでしょうから，それを示した方が早くないですか？　続ける気があるのなら，ですが．
（解決とできる回答がない状況で，且つ，質問者が続ける気が無くなった場合にはどうすれば良いのでしょうね？　このサイト的には．　「回答」がつくと質問自体を取り消せないルール？みたいですし．）

Answer 2

-無限〜無限ですが、デジタル処理で無限は使えないと思いますが

その通りです。
本来の波形のうち一定期間のデータを切り取り、その波データが繰り返されるものに対してフーリエ変換を行うことになります。

だとしたらフーリエ変換する前の式は導けるのでしょうか？

従って、逆フーリエ変換で本来の式は得られません。あくまでも一定期間で切り取り、その期間のデータが繰り返される式が得られます。

Comments

[episteme]

> 逆フーリエ変換で本来の式は得られません
うん。で、どこらへんまで正確に復元できるかを示すのが「サンプリング定理」なんよね。

[退会済みユーザー]

episteme、消されたメッセージ読んだか？
お前のサムネを二度とみたくないから一生回答してくんなよ。
これだけ強く言ったんだから二度と回答してこないだろ。よかった！