C++のpow関数でおかしくなってるのか？

Question

計算結果が実際に表示されてほしい数値と違うので悩んでいます。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <math.h> 
using namespace std;

signed main() {
	double N, sum1 = 0, sum2 = 0;

	cin >> N;

	for (int i = 0; i < 8; i++) {
		string s;
		cin >> s;

		for (double j = 0; j < N; j++) {
			double sum3 = sum1;

			if (i == 2)continue;
			cout << "i->" << i << " j->" << j << " moji->" << s[j] << endl;

			if (i == 1 && s[j] == '*') {
				sum1 += pow((double)10, (double)(N - 1) - j) * 5;
			}
			else if (i >= 3 && i <= 7 && s[j] == '|') {
				if (i == 3)sum1 += 0;
				if (i == 4)sum1 += pow((double)10, (double)(N - 1) - j) * 1;
				if (i == 5)sum1 += pow((double)10, (double)(N - 1) - j) * 2;
				if (i == 6)sum1 += pow((double)10, (double)(N - 1) - j) * 3;
				if (i == 7)sum1 += pow((double)10, (double)(N - 1) - j) * 4;
				if (i == 7 && j == 0)cout << pow((double)10, (double)(N - 1) - j) * 4 << endl;
				cout << "i->" << i << " j->" << j << " sum1->" << sum1 << " sum3->" << sum3 << " sa->" << fixed << sum1 - sum3 << endl;
			}
		}
	}

	cout << fixed << "sum1->" << sum1  << endl;

	return 0;
}

上記のプログラムに以下のテストケースを入力します

18
**|*****|*****|***
||*|||||*|||||*|||
==================
*|*|*|*|*|*|*|*|*|
****|*****|*****|*
******************
**|*****|*****|***
|*****|*****|*****

実行結果は以下のようになります。

18
**|*****|*****|***
i->0 j->0 moji->*
i->0 j->1 moji->*
i->0 j->2 moji->|
i->0 j->3 moji->*
i->0 j->4 moji->*
i->0 j->5 moji->*
i->0 j->6 moji->*
i->0 j->7 moji->*
i->0 j->8 moji->|
i->0 j->9 moji->*
i->0 j->10 moji->*
i->0 j->11 moji->*
i->0 j->12 moji->*
i->0 j->13 moji->*
i->0 j->14 moji->|
i->0 j->15 moji->*
i->0 j->16 moji->*
i->0 j->17 moji->*
||*|||||*|||||*|||
i->1 j->0 moji->|
i->1 j->1 moji->|
i->1 j->2 moji->*
i->1 j->3 moji->|
i->1 j->4 moji->|
i->1 j->5 moji->|
i->1 j->6 moji->|
i->1 j->7 moji->|
i->1 j->8 moji->*
i->1 j->9 moji->|
i->1 j->10 moji->|
i->1 j->11 moji->|
i->1 j->12 moji->|
i->1 j->13 moji->|
i->1 j->14 moji->*
i->1 j->15 moji->|
i->1 j->16 moji->|
i->1 j->17 moji->|
==================
*|*|*|*|*|*|*|*|*|
i->3 j->0 moji->*
i->3 j->1 moji->|
i->3 j->1 sum1->5.00001e+15 sum3->5.00001e+15 sa->0.000000
i->3 j->2.000000 moji->*
i->3 j->3.000000 moji->|
i->3 j->3.000000 sum1->5000005000005000.000000 sum3->5000005000005000.000000 sa->0.000000
i->3 j->4.000000 moji->*
i->3 j->5.000000 moji->|
i->3 j->5.000000 sum1->5000005000005000.000000 sum3->5000005000005000.000000 sa->0.000000
i->3 j->6.000000 moji->*
i->3 j->7.000000 moji->|
i->3 j->7.000000 sum1->5000005000005000.000000 sum3->5000005000005000.000000 sa->0.000000
i->3 j->8.000000 moji->*
i->3 j->9.000000 moji->|
i->3 j->9.000000 sum1->5000005000005000.000000 sum3->5000005000005000.000000 sa->0.000000
i->3 j->10.000000 moji->*
i->3 j->11.000000 moji->|
i->3 j->11.000000 sum1->5000005000005000.000000 sum3->5000005000005000.000000 sa->0.000000
i->3 j->12.000000 moji->*
i->3 j->13.000000 moji->|
i->3 j->13.000000 sum1->5000005000005000.000000 sum3->5000005000005000.000000 sa->0.000000
i->3 j->14.000000 moji->*
i->3 j->15.000000 moji->|
i->3 j->15.000000 sum1->5000005000005000.000000 sum3->5000005000005000.000000 sa->0.000000
i->3 j->16.000000 moji->*
i->3 j->17.000000 moji->|
i->3 j->17.000000 sum1->5000005000005000.000000 sum3->5000005000005000.000000 sa->0.000000
****|*****|*****|*
i->4 j->0.000000 moji->*
i->4 j->1.000000 moji->*
i->4 j->2.000000 moji->*
i->4 j->3.000000 moji->*
i->4 j->4.000000 moji->|
i->4 j->4.000000 sum1->5010005000005000.000000 sum3->5000005000005000.000000 sa->10000000000000.000000
i->4 j->5.000000 moji->*
i->4 j->6.000000 moji->*
i->4 j->7.000000 moji->*
i->4 j->8.000000 moji->*
i->4 j->9.000000 moji->*
i->4 j->10.000000 moji->|
i->4 j->10.000000 sum1->5010005010005000.000000 sum3->5010005000005000.000000 sa->10000000.000000
i->4 j->11.000000 moji->*
i->4 j->12.000000 moji->*
i->4 j->13.000000 moji->*
i->4 j->14.000000 moji->*
i->4 j->15.000000 moji->*
i->4 j->16.000000 moji->|
i->4 j->16.000000 sum1->5010005010005010.000000 sum3->5010005010005000.000000 sa->10.000000
i->4 j->17.000000 moji->*
******************
i->5 j->0.000000 moji->*
i->5 j->1.000000 moji->*
i->5 j->2.000000 moji->*
i->5 j->3.000000 moji->*
i->5 j->4.000000 moji->*
i->5 j->5.000000 moji->*
i->5 j->6.000000 moji->*
i->5 j->7.000000 moji->*
i->5 j->8.000000 moji->*
i->5 j->9.000000 moji->*
i->5 j->10.000000 moji->*
i->5 j->11.000000 moji->*
i->5 j->12.000000 moji->*
i->5 j->13.000000 moji->*
i->5 j->14.000000 moji->*
i->5 j->15.000000 moji->*
i->5 j->16.000000 moji->*
i->5 j->17.000000 moji->*
**|*****|*****|***
i->6 j->0.000000 moji->*
i->6 j->1.000000 moji->*
i->6 j->2.000000 moji->|
i->6 j->2.000000 sum1->8010005010005010.000000 sum3->5010005010005010.000000 sa->3000000000000000.000000
i->6 j->3.000000 moji->*
i->6 j->4.000000 moji->*
i->6 j->5.000000 moji->*
i->6 j->6.000000 moji->*
i->6 j->7.000000 moji->*
i->6 j->8.000000 moji->|
i->6 j->8.000000 sum1->8010008010005010.000000 sum3->8010005010005010.000000 sa->3000000000.000000
i->6 j->9.000000 moji->*
i->6 j->10.000000 moji->*
i->6 j->11.000000 moji->*
i->6 j->12.000000 moji->*
i->6 j->13.000000 moji->*
i->6 j->14.000000 moji->|
i->6 j->14.000000 sum1->8010008010008010.000000 sum3->8010008010005010.000000 sa->3000.000000
i->6 j->15.000000 moji->*
i->6 j->16.000000 moji->*
i->6 j->17.000000 moji->*
|*****|*****|*****
i->7 j->0.000000 moji->|
400000000000000000.000000
i->7 j->0.000000 sum1->408010008010008000.000000 sum3->8010008010008010.000000 sa->400000000000000000.000000
i->7 j->1.000000 moji->*
i->7 j->2.000000 moji->*
i->7 j->3.000000 moji->*
i->7 j->4.000000 moji->*
i->7 j->5.000000 moji->*
i->7 j->6.000000 moji->|
i->7 j->6.000000 sum1->408010408010008000.000000 sum3->408010008010008000.000000 sa->400000000000.000000
i->7 j->7.000000 moji->*
i->7 j->8.000000 moji->*
i->7 j->9.000000 moji->*
i->7 j->10.000000 moji->*
i->7 j->11.000000 moji->*
i->7 j->12.000000 moji->|
i->7 j->12.000000 sum1->408010408010408000.000000 sum3->408010408010008000.000000 sa->400000.000000
i->7 j->13.000000 moji->*
i->7 j->14.000000 moji->*
i->7 j->15.000000 moji->*
i->7 j->16.000000 moji->*
i->7 j->17.000000 moji->*
sum1->408010408010408000.000000

一番下にsum1->408010408010408000.000000と表示されてますが本当は
sum1->408010408010408010.000000
と表示されてほしいのです。
i->7 j->0.000000のとき、sum3にはsum1が加算される前の数値を代入しています。sum1にpow関数で求めた数値を加算してsum3とsum1の差を「sa->」で表示しています。sa->を見ると400000000000000000.000000ですがsum1は408010008010008000.000000でsum3は8010008010008010.000000で電卓で計算すると差は399,999,999,999,999,990‬になり10の誤差が生じているように見えます。
なぜ8010008010008010に400000000000000000.000000を足して408010008010008000.000000になっているのか？しかもsa->が400000000000000000.000000になっているのかが分かりません。

i->7 j->0.000000 sum1->408010008010008000.000000 sum3->8010008010008010.000000 sa->400000000000000000.000000

お手数をおかけしますがよろしくお願いいたします。

Answer 1

一般に double は

• 符号部 1 ビット
• 指数部 11 ビット
• 仮数部 52 ビット

から成る表現を持っていて、要するに 2 進数で 52 桁 (10 進数だとだいたい 15 桁くらい) の有効精度しかありません。 pow がどうこうではなくて、 double の表現範囲の限界によるものです。

Comments

[aba]

doubleをlong doubleにしてみましたが変わりません。long doubleでもダメなのでしょうか？

[SaitoAtsushi]

環境によります。

基本的な算術型について C++ の言語仕様では正確な大きさを定めていません。 最低限度の表現範囲や表現範囲が long double >= double >= float であるといったいくらかの制約はありますが、逆に言えばその制約を満たしさえすれば処理系 (コンパイラ) は言語仕様に準拠していると言えます。 コンピュータというのは千差万別なので、それぞれの都合に応じた選択が出来るように言語仕様には幅が持たさられているのです。

そして long double と double が同じ大きさであるような処理系は珍しくありません。

たとえばマイクロソフトが提供している Microsoft C++ のドキュメントを見ると double と long double は同じ大きさであるということが書かれています。

https://docs.microsoft.com/ja-jp/cpp/cpp/data-type-ranges?view=vs-2019

[aba]

以下のように自分なりにまとめてみました。

long double型の変数が8010008010008010だとする。これに16桁より大きい数字を加算すると正しくない結果になった
4000000000000000を加算
12010008010008010←正しい

40000000000000000を加算
48010008010008008←間違い

400000000000000000を加算
408010008010008000←間違い

doubleの範囲を超えた数値でもまったく計算できないのではなく、微妙に違う数値になるケースがあるというのは知らなかった。

回答ありがとうございました。

[SHOMI]

15桁以上の有効桁数がほしいのでしたら、boost::multiprecisionやGMPなどの任意精度計算ライブラリについて調べてみては？