Vuexのmutationでstoreの値が更新できない

Question

現在Nuxtでwebアプリを開発しています。
ログイン機能をfirebase authで実装して、その値をVuexで管理しています。
リロードがかかったタイミングでstoreの値が消えるのでログインのタイミングでlocal storageに保存しています。
ログアウトのタイミングでローカルストレージとstoreの値を更新しています。

このような処理を行おうと思っているのですが、ログアウトのタイミングでstoreの値が更新されません。
mutationの処理が非同期になっているからかと思いましたが違いました。
お力お貸しいただきたいです。

/store/user.js

import firebase from '~/plugins/firebase'
import auth from '~/plugins/auth'

export const state = () => ({
  isAuth: false,
  uid:'',
  displayName: '',
  email: '',
  photoURL: ''
})
export const mutations = {
  setSignInState(state, user) {
    state.isAuth = !!user
    state.uid = user && user.uid || ''
    state.email = user && user.email || ''
    state.displayName = user && user.displayName || ''
    state.photoURL = user && user.photoURL || ''
  }
}
export const actions = {
  async signIn({ commit }) {
    await firebase
      .auth()
      .signInWithPopup(new firebase.auth.GoogleAuthProvider())
      .then(res => commit('setSignInState', res.user))
      .catch(error => {
        if (error.code === 'auth/popup-closed-by-user') {
          // Do nothing.
        } else {
          // any
        }
      })
  },
   signOut({ commit }) {
     firebase
      .auth()
      .signOut()
      .then(res => {
        commit('setSignInState', false)
      })
  },
  async checkAuth({ commit }) {
    await auth().then(user => commit('setSignInState', user))
  },
}

/components/Mypage.vue
<template>
<div id="mypage">
  <span>こんにちは, {{ this.$store.state.user.displayName }}さん</span>
  <p><button @click="logout">ログアウト</button></p>
  <h2>あなたのノート</h2>
  <p>{{ note_content }}</p>
  <div id='notesIndex' v-for="note in notes" :key="note.content">
    <p class="noteContent">{{ note.content }}</p>
  </div>
  <p><textarea v-model="note_content"></textarea></p>
  <p><button @click="saveContent(note_content)">ノートを保存する</button></p>
  <p><button @click="getdata()">show</button></p>
</div>
</template>

<script>
import firebase from '@/plugins/firebase'
var db = firebase.firestore();
export default {
  name: 'mypage',
  props: ['user'],
  data (context) {
    // コンポーネントをロードする前に毎回呼び出されます
    return { note_content: 'hello', notes:[]}
  },
  created: function() {
    firebase
      .database()
      .ref('notes/' + this.user.uid)
      .once('value')
      .then(result => {
        if (result.val()) {
          this.notes = result.val();
        }
      })
  },
  methods: {
    logout: function() {
    window.localStorage.clear();
      firebase.auth().signOut();
    },
    saveContent: function(value) {
      
      // 新しいテキストのためのキーを取得
      db.collection("users").add({
    first: value,
    last: "Lovelace",
    born: 1815
})
.then(function(docRef) {
    console.log("Document written with ID: ", docRef.id);
})
.catch(function(error) {
    console.error("Error adding document: ", error);
});
    },
    getdata:function(){
      db.collection("users").get().then((querySnapshot) => {
    querySnapshot.forEach((doc) => {
        console.log(`${doc.id} => ${doc.data()}`);
    });
});
    }
  }
}
</script>

/plugins/localStorage.js
import createPersistedState from 'vuex-persistedstate'

export default ({ store }) => {
  createPersistedState({
    paths: ['user'],  // localStorageに保存したいstoreを入れる
  })(store);
};