WordPressのパスワードリセット時に、Cookie（リセットキー）がPHPで受け取れない問題について

###前提・実現したいこと
パスワードリセットフォームの独自実装に取り組んでいます。

ご存じのようにリセットページではwp-resetpass-xxxというキーでcookieが登録されます。

そして通常のリセットフォームはこのリセットキーを検証してパスワードリセットを処理しますが、

今回はリセットフォームを独自実装したため、リセットキーをPHPで受け取る仕組みも実装したいのですが、どのようにしたら受け取れるでしょうか？

###発生している問題・エラーメッセージ
下記の「該当のソースコード」で、リセットキーがPHPの$_COOKIEで受け取れません。
つまりこのようにUndefinedエラーになります。

Notice: Undefined index: wp-resetpass-xxx in ・・・

###該当のソースコード
以下がAjaxでリセットキーを受け取る流れで、上のエラーメッセージは6行目です。

add_action( 'wp_ajax_nopriv_my_ajax_resetpass', 'my_ajax_resetpass' );
function my_ajax_resetpass() {

	// キー確認
	$rp_cookie = 'wp-resetpass-' . COOKIEHASH;
	if ( ! empty($_COOKIE[ $rp_cookie ]) ){ // エラーメッセージ
		list( $rp_login, $rp_key ) = explode( ':', wp_unslash( $_COOKIE[ $rp_cookie ] ), 2 );
		$user = check_password_reset_key( $rp_key, $rp_login );
	}

	// リセットを実行
	if ( ! $user || is_wp_error( $user ) ) {
		// キーが違うときの処理
	} else {
		$pass = isset( $_POST['pass'] ) ? $_POST['pass'] : '';
		// $passを登録する処理
	}
}

###試したこと（他のcookie）
まず他のcookieはどうかと思い下記のようにしたところ、
$_COOKIE[ $test_cookie ] → 取得できた
$_COOKIE[ $rp_cookie ] → 取得できない
というのが確認されました。

add_action( 'wp_ajax_nopriv_my_ajax_resetpass', 'my_ajax_resetpass' );
function my_ajax_resetpass() {

	$test_cookie = 'test_cookie';
	$rp_cookie = 'wp-resetpass-' . COOKIEHASH;

	$array = [
		'test_cookie' => $_COOKIE[ $test_cookie ], // 取得できた
		'rp_cookie'   => $_COOKIE[ $rp_cookie ]    // 取得できない
	];

	echo json_encode( $array, JSON_UNESCAPED_UNICODE );
}

###試したこと（$_POST）
次に$_COOKIEで受け取れないなら$_POSTはどうかと思いました。

ところが下記のJSでwp-resetpass-xxxというcookie値はundefinedになってしまい、PHPへ$_POSTできませんでした。

（おそらくwp-resetpass-xxxはHttpOnlyがtrueだからJSでは取得できないのだと思います。）

$.ajax({
	url: 'http://exaple.erz.com/wp-admin/admin-ajax.php';
    ',
	type: 'POST',
	data: {
		action : 'my_ajax_resetpass',
		rp_key : $.cookie('wp-resetpass-xxx'), // undefined
		pass   : '123'
	}
})

状況は以上になります。

いかにしてリセットキーをPHPで受け取れるようになりますでしょうか？

ご意見、ご回答をどうぞ宜しくお願い致します。