networkxを用いたランダム有向グラフの生成

Question

あるエッジリストをもとにランダムな有向グラフを生成したいです。

import networkx as nx

G = nx.read_edgelist(path, create_using=nx.DiGraph())#自己ループも多重辺も存在しない。

ここで生成するランダム有向グラフの条件として
・Gのノード数と一致する
・GのノードのIn、Outの次数を保存している
・自己ループは存在して良いが多重辺は存在してはならない。よってGのエッジの数を保存している。

A = nx.directed_configuration_model(in_degree_sequence, 
                out_degree_sequence=, create_using=nx.DiGraph())

上のコードを用い、ランダムグラフを生成しました。
この関数は普通、MultiDiGraphを返します。そのためDiGraphと指定しました。
しかし、この関数は、指定したグラフを生成するわけではなく、MultiDiGraphを生成した後にそれをDiGraphに直しているようです。
そのためノード数は一致しますが次数とエッジ数がGとは異なるランダム有向グラフを生成してしまいました。

また

B = nx.directed_havel_hakimi_graph(in_deg_sequence, out_deg_sequence)

この関数を使ったら条件を全て満たすことができますが、辺に偏りが生まれてしまうため
別の方法を用いて生成したいです。

どのような方法で条件を満たすランダム有向グラフが生成できますか。

Answer 1

自分も隣接行列の列ごと行ごとの和を考えていたんですが
グラフの隣接行列が100万×100万のとても大きいものを考えていたため頓挫してしまいました。
ここまで親切に回答して下さりありがとうございます

Comments

[tiitoi]

もしかしたらできる方法はあるかもしれません。
回答に書いた通り、線形計画問題に帰着できるので、その解空間からランダムにサンプルする手法を探すという方向性なら可能性がありそうです。
「random sample linear programming」などのキーワードで調べたらいくつか情報が出てきましたが、中身は見てないので使えるかどうかはわかりません。。。
networkx はグラフ理論で出てくるアルゴリズム等はだいたい実装されていますから、そこにないということは、需要があまりないのか、計算量的に現実的な時間で実行するのが無理なのかということになりますね。

[hoshi1996]

多重辺は全体の０.１％にも満たないため大きな影響を与えないと考えました。
そのため以前のランダムグラフで検討することにしました。
とても親切な回答ありがとうございました。

Answer 2

networkx の生成系の関数を探してみましたが、そのような関数はなさそうです。

少し考えてみましたが、やろうとしていることは無理なのではないでしょうか。

題意を整理すると、「ある有向グラフ G が与えられたとき、入次数、出次数が G と等しいランダムな有向グラフを作成したい」ということになります。

有向グラフ G の隣接行列を A としたとき、A の (i, j) 成分が1であれば、有向辺 (i, j) が存在することを意味するので、G の列ごとの和が入次数、行ごとの和が出次数になります。

よって、先程の問題は「行ごとの和、列ごとの和が指定した値となるような同じ大きさで値が0 or 1 の行列」をランダムに生成するということになります。

import networkx as nx

D = nx.gnm_random_graph(10, 20, seed=42, directed=True)
in_degree = [deg for node, deg in D.in_degree()]
out_degree = [deg for node, deg in D.out_degree()]
print(in_degree)  # [3, 2, 1, 3, 1, 1, 2, 0, 3, 4]
print(out_degree)  # [2, 5, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 0]

# 隣接行列を取得する。A[i, j] = 1 ならば、有向辺 (i, j) が存在することを意味する。
A = nx.to_numpy_array(D)
print(A)
# [[0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0.]
#  [1. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 1.]
#  [0. 0. 0. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 0.]
#  [0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0.]
#  [1. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0.]
#  [0. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 1.]
#  [1. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0.]
#  [0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1.]
#  [0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1.]
#  [0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.]]
print(A.sum(axis=0))  # [3. 2. 1. 3. 1. 1. 2. 0. 3. 4.]
print(A.sum(axis=1))  # [2. 5. 2. 2. 2. 3. 2. 1. 1. 0.]

ノード数が10の有向グラフの場合、隣接行列は (10, 10) なので、2^100 通り考えられ、そのうち、「行ごとの和、列ごとの和が指定した値となる行列」がいくつかあることになります。
ランダムに生成といった場合、まず「2^100 通りから条件を満たす行列を列挙し、ランダムにその中から1つ選ぶ」ということになるので、現実的には難しいのではないでしょうか。

以下、「行ごとの和、列ごとの和が指定した値となる」という条件で整数計画問題で解いた例
条件を満たす1つの解はでてきますが、全部の解を列挙するといったことはできません。

import networkx as nx
from pulp import *

D = nx.gnm_random_graph(10, 20, seed=42, directed=True)
in_degree = [deg for node, deg in D.in_degree()]
out_degree = [deg for node, deg in D.out_degree()]

# モデルを作成する。
model = LpProblem(
    name="generate digraph with specific sequence of indege and out degree.",
    sense=LpMaximize,
)

# # 変数を作成する。
X = np.array([[LpVariable(f"{i}{j}", cat=LpBinary) for j in D.nodes] for i in D.nodes])

# 制約を設定する。

# (1) 入次数が一致している必要がある。
for j, deg in zip(range(len(D.nodes)), in_degree):
    model += lpSum(X[:, j]) == deg

# (2) 出次数が一致している必要がある。
for i, deg in zip(range(len(D.nodes)), out_degree):
    model += lpSum(X[i]) == deg

# モデルを表示する。
# print(model)

# 解く。
ret = model.solve()
print("status", LpStatus[ret])  # status Optimal

# 解けた場合は結果を表示する。
if ret == 1:
    A2 = np.vectorize(lambda x: x.value())(X)
    print(A2)
#     [[1. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0.]
#      [1. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 1.]
#      [0. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0.]
#      [1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1.]
#      [0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 1. 0.]
#      [0. 0. 0. 1. 0. 0. 1. 0. 1. 0.]
#      [0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1.]
#      [0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0.]
#      [0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1.]
#      [0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.]]
    # 入次数、出次数が一致するかどうか
    print(np.array_equal(in_degree, A.sum(axis=0)))  # True
    print(np.array_equal(out_degree, A.sum(axis=1)))  # True