動画の分割リクエストで古いCookieが送信される

Question

自前のサイト内でvideoタグを使い動画を再生させています。

動画再生時はCookieにセットされたセッションIDを使用して認証処理を行っているのですが、
Androidの場合、このCookieが正しく送信されておらず認証処理でエラーとなる現象が発生しています。
(iOSでは発生していません)

エラーが確認できたAndroidバージョン：4.1.2、4.2.2、4.4.2

処理の流れとしては下記のようになっています。

1.ユーザAでログイン

CookieにセッションID："A"がセットされる

2.動画を再生
rangeヘッダを使った分割リクエストがサーバに飛ぶ
1回目のリクエスト、Cookie（セッションID："A"）→認証OK。動画データ（一部）をレスポンスとして返す
2回目のリクエスト、Cookie（セッションID："A"）→認証OK。動画データ（一部）をレスポンスとして返す

3.ユーザAでログアウト
ブラウザのCookie情報からセッションIDが削除される

4.ユーザBでログイン
CookieにセッションID："B"がセットされる

5.動画を再生
rangeヘッダを使った分割リクエストがサーバに飛ぶ
1回目のリクエスト、Cookie（セッションID："B"）→認証OK。動画データ（一部）をレスポンスとして返す
2回目のリクエスト、Cookie（セッションID："A"）→認証NG

ちなみに同じユーザでログイン→動画再生→ログアウト→ログイン→動画再生とやっても
２回目の動画再生時に1回目のログインで生成されたセッションIDを送信し、エラーとなりますので、
Cookie内のセッションIDが変わった時点で発生するようです。
（セッションIDはログイン時に毎回、充分な長さのランダム文字列を生成するようにしています）

AndroidをPCに接続し、Chromeのインスペクタでリクエストとレスポンスを確認しましたが、
インスペクタで確認できるのは分割されたリクエストの1回目だけでした。
分割リクエストの2回目以降はAndroid内のメディアプレーヤー（Stagefright？）からのリクエストになるのでしょうか？

※StagefrightでCookieが重複するというバグ？もあるようです
https://code.google.com/p/android/issues/detail?id=78796

何とかして、最新のセッションIDを送るようにしたいのですが、
良い方法が見つからず困っております。
世の中にはスマホ向けストリーミングサービスが数多くあるので、何らかの方法はあると思うのですが…。

解決策をご存知の方いらっしゃいましたら、アドバイスをお願い致します。