インターネット越しにレンタルサーバー上のデータベースに接続できたら
メンテナンスとかラクになる反面、
簡単な設定で第三者に利用されかねない状況も引き起こしかねません。
「レンタルサーバcentOS上のpostgresql」の構築状況を確認しないといけません。
root権限にてPostgreSQLをインストールしたものだと察しますが、
overさん指摘のようにまずPostgreSQL接続の権限を管理するpg_hba.confの設定が気になります。
(9.6のドキュメントですが)
20.1. pg_hba.confファイル
に則って
host database user address auth-method [auth-options]
か
host database user IP-address IP-mask auth-method [auth-options]
の定義を追加する必要があります。
ここで、addressは接続元Windowsなどのアドレス(のインターネット側から見えるアドレス)になりますが、
固定IPでない一般的なインターネット接続プロバイダー経由での接続だと動的IPになるため、
IP-address IP-mask の指定を
プロバイダーが管理するIPアドレス範囲を指定するなどの工夫が必要になるかもしれません。
それだとたとえSSHを使う接続でもちょっとセキュリティ的に低めで類推しにくいユーザー名とパスワードの管理が必要になりますね。
もしくは、毎度動的に定まっているIPアドレスを都度修正してPostgreSQL自体の再起動とか。(面倒で現実的ではない。)
オススメ?はVPN接続を設けて、
VPN接続する際にクライアントに対して固定IPを与えるようにすれば、
VPN越しの接続で同じIPアドレスをセキュアに使えて、
同じネットワークセグメント内からの接続としてラクにつながると思われます。
その際の pg_hba.conf の記述も悩むところはあまりなさそうです。
VPN接続ができるようになるまで、
なんのVPNソフトを使うかによってもやるべきことがあれこれ出てきますが、
サーバー側のファイアウォール周りの設定の調整も必要になるので、
むしろこっちが本番というは本丸(?)のところかもしれません。