fs.existsは非推奨なのでs.statまたは、fs.accessで、実行したい。

こちらにありますように、fs.existsには競合状態（存在チェックの直後にファイルの作成・削除などが行われると想定どおりに進まない）問題があります。

Using fs.exists() to check for the existence of a file before calling fs.open(), fs.readFile() or fs.writeFile() is not recommended. Doing so introduces a race condition, since other processes may change the file's state between the two calls. Instead, user code should open/read/write the file directly and handle the error raised if the file does not exist. （Node.jsドキュメントより）

fs.existsでのチェックを行わずにfs.readFileを行って、errorの際にerror.codeを見てファイルが存在しない（ENOENT）かそれ以外のエラー化を確認するようにしましょう。

エラーコードの一覧

なぜfs.existsが非推奨になったのか知る必要があります。
そしてfs.exists 非推奨でググれば、すぐに知れます。
その内容はmaisumakunさんの回答のとおりなのですが、じゃあどうすれば？ということですよね。
初心者さんということで、足がかりになればと思い、ざっくりリファクタリングしておきます。（わからない時は右も左も知ってるはずなのにわからないですから＾＾）

const http = require('http')
const path = require('path')
const fs = require('fs')
const util = require('util')

const readFile = util.promisify(fs.readFile)

const mimeTypes = {
    '.js': 'text/javascript',
    '.html': 'text/html',
    '.css': 'text/css',
};

http.createServer(async function (request, response) {
    const lookup = path.basename(decodeURI(request.url)) || 'index.html'
    const filepath = 'content/' + lookup

    try {
        const data = await readFile(filepath)
        const headers = {'Content-Type': mimeTypes[path.extname(filepath)] + ';charset=utf-8'}
        response.writeHead(200, headers)
        response.end(data)
    } catch (err) {
        response.writeHead(404)
        response.end('ページがみつかりません！')
    }

}).listen(8080);

fs.existsした後にfs.readFileは意味ない、ダサいということです。
ファイルを読み込みたいのだから、素直にfs.readFileしちゃえってことです。
あと関係ないですが、node.js v10をご利用ということですので、varは極力避けてconstで書いていく（後々身にしみてvarの気持ち悪さを感じるようになります）。そしてなるべくPromise化を行い、async/await構文を使ってコーディングできるようになると、脱初心者です。
頑張ってください。