ASP.NET WebApi を HttpClient の PostAsyncメソッドで呼び出し

ASP.NET WebApiのPost処理(C#)を、Windowsフォームアプリ(C#)から、HttpClient の PostAsyncメソッドを使って呼ぼうとしているのですが、どうもうまくいきません。
###発生している問題・エラーメッセージ
以下が返されて、対象のPostメソッドは呼ばれません。
The requested resource does not support http method 'GET'.

###ソースコード
まず、WebApiの記述です。

C#
    [RoutePrefix("api/GateApi")]
    public class GateApiController : ApiController
    {
   // パラメータ用のクラス定義
        public class para
        {
            public int GateNo { get; set; }
        }

   // Post処理
        [Route("TestPost")]
        [HttpPost]
        public string TestPost(para data)
        {
            return "Post呼ばれたよ";
        }
    }

試しに、同じサイト内のページに埋め込んだ、以下のJavascriptでPOSTしてみましたが、これは正常に処理されます。
値も正常に渡るし、戻り値も返っています。

JavaScript
    function testPost() {
        $.ajax(
        "/api/GateApi/TestPost/",
        {
            type: "POST",
            data: { GateNo: 333 },
            success: function (data) {
                alert(data);
            },
            error: function (e) {
                alert("エラー");
            }
        });
    }

以下が、Windows Formのソースの一部です。
ボタンをクリックするとレスポンスがラベルに表示されます。

C#
        private void button_Click(object sender, EventArgs e)
        {
            PostWebPageAsync();
        }

        private async void PostWebPageAsync()
        {
            this.label1.Text = "Post取得中";

            string uri = "http://localhost:12345/api/GateApi/TestPost/";

            // "Message":"The requested resource does not support http method 'GET'. が返されます。
            this.label1.Text = await Post(uri, 
						new Dictionary<string, string> {{ "GateNo", "123" }});
        }

        // Post呼び出し処理
        private async Task<string> Post(string url, Dictionary<string, string> param)
        {
            string result = "";

            try
            {
                HttpClient httpClient = new HttpClient();
                httpClient.MaxResponseContentBufferSize = int.MaxValue;
                HttpContent content = new FormUrlEncodedContent(param);
                var response = await httpClient.PostAsync(url, content);
                String text = await response.Content.ReadAsStringAsync();

                result = text;
            }
            catch (Exception Err)
            {
                result = "ERROR: " + Err.Message;
            }

            return result;
        }

例外は発生していないようですが、ラベルには、
** "Message":"The requested resource does not support http method 'GET'. **
が表示されます。
response.StatusCode は MethodNotAllowed が返されます。

何か、ヘッダなど必要な情報があるんでしょうが、よくわかりません。
###補足情報
サーバー側もクライアント側も、.NETのバージョンは 4.5.1

ＩＩＳのログの抜粋です

■うまくいくとき → ChromeのRest Client で呼び出し
2015-10-13 03:06:50 ::1 POST /api/GateApi/TestPost - 12345 - ::1 Mozilla/5.0+(Windows+NT+6.1;+WOW64)+AppleWebKit/537.36+(KHTML,+like+Gecko)+Chrome/45.0.2454.101+Safari/537.36 - 200 0 0 2620

■うまくいかないとき → WindowsForm で呼び出し
2015-10-13 03:09:21 ::1 POST /api/GateApi/TestPost/ - 12345 - ::1 - - 302 0 0 13
2015-10-13 03:09:21 ::1 GET /api/GateApi/TestPost/ AspxAutoDetectCookieSupport=1 53903 - ::1 - - 405 0 0 266

上記ログ（うまくいかないほう）とソースの対応を調べたのですが、
1行目： var response = await httpClient.PostAsync(url, content); → POST
2行目： String text = await response.Content.ReadAsStringAsync(); → GET
ということでした。
１行目の処理で、エラーが帰りそのため2行目のＧＥＴがうまくいかないということのようです。

1行目POST時の戻り値の内容を一部抜粋

IsSuccessStatusCode: false
ReasonPhrase: "Method Not Allowed"
RequestMessage: {Method: POST, RequestUri: 'http://localhost:12345/api/GateApi/TestPost/?AspxAutoDetectCookieSupport=1', Version: 1.1, Content: System.Net.Http.FormUrlEncodedContent, Headers:

{
Content-Type: application/x-www-form-urlencoded
Content-Length: 10
}}

###[その後の調査]

eripong さん

貴重な情報ありがとうございます。
セッションＩＤの受渡のために、クッキーを使うかどうかの設定の話だと思うんですが、私の知識では、いまいち細かいしくみがわかりません。ただ、これを機に多少とも勉強させていただきます。

最低限の私の知識で理解できる範囲で、以下いろいろやってみました。

■まず、cookieless の設定による実行結果です。（○がPOST成功）
× UseUri
○ UseCookies
× AutoDetect
○ UseDeviceProfile

おっしゃるように、UseCookiesだとうまくいくようで、UseDeviceProfileでも大丈夫みたいです。

つまり、設定としては、

```
  <sessionState mode="Off" />
```

  <sessionState cookieless="UseCookies"/>

  <sessionState cookieless="UseDeviceProfile"/>

のいずれかだとうまくいくということになります。

■次に、Chromeのクッキーの状態を見てみました。
イメージ説明
AspxAutoDetectCookieSupportの値が１として保存されているようです。

試しに、これを削除して、JavascriptやREST ClientツールでGETしてみると、見事にエラーになります。
ただ、このときに再度AspxAutoDetectCookieSupport=1 が保存され、2回目以降はエラーにならないようです。

■REST Client でのＰＯＳＴ実行結果
各処理のリクエストの内容を細かく調べる方法がわからないので、とりあえず情報として載せておきます。

以下は、REST Client でＰＯＳＴに失敗した時の状況です。
イメージ説明
POST時に、AspxAutoDetectCookieSupport=1にリダイレクトしてるということでしょうか。その結果「405 Method Not Allowed」が返されています。そして、その後、GETしようとしてエラー返されているようです。