[Laravel5.5]Laravel Shoppingcart + Vueでのショッピングカート実装について

現在、Laravel Shoppingcart + Vueについてチュートリアルを進めているのですが、
カートを入れるボタンを押すと下記エラーが出てしまいます。

サイトを見ながら同じように進めているのですが、原因がよくわかりません。
チュートリアルサイトの中で「addCart: function(index)」の場所が詳しく書かれていませんでしたが、おそらくVue.jsのmethodだろうと予測し、以下のように書きましたが、こちらで問題ないかも併せて御指南いただければと思います。

[チュートリアルサイト]
リンク内容

error
1TypeError: this.$refs.qty is undefined[詳細] products:54:29
2
3    addCart http://192.168.10.10/products:54 addCart self-hosted:974 click3VueJS

　
resources/views/products/index.blade.php

html
1<html>
2<head>
3    <link href="https://stackpath.bootstrapcdn.com/bootstrap/4.1.3/css/bootstrap.min.css" rel="stylesheet">
4</head>
5<body style="padding-top: 10px;">
6    <div id="app">
7        <div class="container">
8            <div class="float-right">
9                カートの中身： <span class="badge badge-pill badge-light" v-text="Object.keys(cartItems).length"></span> 個
10            </div>
11            <h1>商品一覧</h1>
12            <div class="row">
13                <div v-for="(product,index) in products" class="col-sm-4">
14                    <div class="card border-info">
15                        <div class="card-body">
16                            <h5 class="card-title" v-text="product.name"></h5>
17                            <p class="card-text">
18                                <label>サイズ：</label>
19                                <select ref="size" class="form-control">
20                                    <option v-for="size in product.sizes" :value="size" v-text="size"></option>
21                                </select>
22                            </p>
23                            <p class="card-text">
24                                <label>個数：</label>
25                                <input ref="size" type="number" class="form-control" min="0" value="0">
26                            </p>
27                        </div>
28                        <div class="card-footer text-right">
29                            <button type="button" class="btn btn-info" @click="addCart(index)">カートへ入れる</button>
30                        </div>
31                    </div>
32                    <br>
33                </div>
34            </div>
35        </div>
36    </div>
37    <script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/vue@2.5.17/dist/vue.min.js"></script>
38    <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/axios/0.18.0/axios.min.js"></script>
39    <script>
40
41        new Vue({
42            el: '#app',
43            data: {
44                products: [],
45                cartItems: {}
46            },
47            methods: {
48                addCart: function(index) {
49
50                    if(confirm('カートへ追加します。よろしいですか？')) {
51
52                        var self = this;
53                        var size = this.$refs.size[index].value;
54                        var qty = this.$refs.qty[index].value;
55                        var product = this.products[index];
56
57                        var url = '/ajax/carts';
58                        var params = {
59                            size: size,
60                            qty: qty,
61                            productId: product.id
62                        };
63                        axios.post(url, params)
64                            .then(function(response){
65
66                                self.cartItems = response.data;
67
68                            });
69
70                    }
71
72                },
73                getProducts: function() {
74
75                    var self = this;
76                    axios.get('/ajax/products')
77                        .then(function(response){
78
79                            self.products = response.data;
80
81                        });
82
83                }
84            },
85            mounted: function() {
86
87                this.getProducts();
88
89            }
90        });
91
92    </script>
93</body>
94</html>

php
1
2namespace App\Http\Controllers\Ajax;
3
4use Illuminate\Http\Request;
5use App\Http\Controllers\Controller;
6
7class CartController extends Controller
8{
9    // 中略
10
11    public function store(Request $request)
12    {
13        $product = \App\Product::find($request->product_id);
14        \Cart::add(
15            $product->id,
16            $product->name,
17            $request->qty,
18            $product->amount,
19            ['size' => $request->size]
20        );
21        return \Cart::content();
22    }