配列のnewの有無について

同じ役割を果たしていると言えるのでしょうか？

後者は
・ローカル変数やフィールドの宣言と同時に与える「初期値」としてのみ許される

前者は
・ローカル変数やフィールドへの再代入の右辺やメソッドへの実引数などにも使える「一般的な式」

というところが役割として違う点です。つまり使える場面の違いです。後者がメソッドの実引数にも使えると便利な気もしますが・・・

void foo(int[] a)    (M1)
void foo(Object[] a) (M2)

のどちらに適合するかfoo({1, 2, 3})のような型なしの表現だと曖昧さが残ります。一方new int[] {...}というように「要素の型が明確な式」ならM1のメソッドの引数であることがはっきりしますね。変数の宣言と同時にしか使わない初期値ならば「変数の型は自明」なので前述のような曖昧さが起きません。そういうわけで「初期値」だけはnew int[]が省略できる簡便な構文を許しているのではないでしょうか？

実際の動作の結果についていえば、下のコードの(A)(B)は全く同じbyte codeにコンパイルされるようです。さらにいえば若干の意味的な違いを除けば(C)とほぼ同じ意味になります。

A.java

class A {
  void foo() {
    // (A)
    int[] a = { 10, 20 };

    // (B)
    a = new int[] { 10, 20 };

    // (C)
    a = new int[2];
    a[0] = 10;
    a[1] = 20;
  }
}

コンパイルしてbyte codeを見てみますと・・・

$ javac A.java
$ javap -v A.class
...
    Code:
      stack=4, locals=2, args_size=1
         # ----- (A) ----- int[] a = { 10, 20 };
         0: iconst_2
         1: newarray      int  # 要素数2の配列を生成
         3: dup                # 配列をスタック上にコピー
         4: iconst_0           # 0をスタックに積む
         5: bipush        10   # 10をスタックに積む
         7: iastore            # stack[2](=配列)のstack[1](=0)番目にstack[0](=10)を格納
         8: dup                # 以下同様
         9: iconst_1
        10: bipush        20
        12: iastore
        13: astore_1           # 配列をローカル変数aに代入
        # ----- (B) ----- a = new int[] { 10, 20 };
        14: iconst_2           # (A)と全く同じ
        15: newarray      int
        17: dup
        18: iconst_0
        19: bipush        10
        21: iastore
        22: dup
        23: iconst_1
        24: bipush        20
        26: iastore
        27: astore_1
        # ----- (C) -----
        28: iconst_2
        29: newarray      int  # 要素数2の配列を生成
        31: astore_1           # 配列をローカル変数aに代入(これが(A),(B)と意味的に違う)
        32: aload_1            # あとは若干byte codeが違うが意味的に(A),(B)と同じ
        33: iconst_0
        34: bipush        10
        36: iastore
        37: aload_1
        38: iconst_1
        39: bipush        20
        41: iastore
...

(A)(B)は全く同じbyte codeになっており「配列の全体の要素値が確定してから変数へ代入される」のに対して、(C)は「まず全要素が要素型によって決まる値(intなら0)の配列が変数へ代入されてから各要素が初期化される」のがわかります((C)はそう書いているので当たり前ですが...)。

同じです。ただし、newがない方は変数宣言と同時にしか使えません。

int[] a = {1, 2, 3};
// a = {4, 5, 6};  // コンパイルエラー
a = new int[]{4, 5, 6};

同じバイトコードが生成されていましたので, 同じ役割を果たしていると言えると思います.

Javaでnew int[] {1, 2, 3};とすると、配列の実体はヒープ領域に作成されます。

Ｃ言語の場合、ヒープ領域に配列の実体を作ろうとすると、int *a = (int *) malloc(sizeof(int) * 3);とします。

ヒープ領域でメモリを確保する手段として、Javaの場合はnewを、Ｃの場合はmallocを使う感じです。

話は変わって、Ｃ言語の場合、int a[] = {1, 2, 3};すると、配列はスタック領域に確保されます。

それに対して、Javaの場合、int a[] = {1, 2, 3};の場合でも配列の実体はヒープ領域に作成されます。

結果として、Javaの場合、どちらも変わらないということだと思います。