質問者さんが何をしているのか不明ですので、接続文字列を取得できない原因と対策をピンポイントで回答することはできませんが、以下のやりたいことはこうすればできるという方法・説明を書いておきます。
Microsoft SQL Server 2014 - 12.0.2269.0 (X64)
テーブルから取り出したメンバー情報をブラウザで一覧表示することを試みています。
LocalDB または SQL Server Express 版でないと EF Code First で DB を生成することはできないので、SQL Server 2014 のインスタンスにアタッチされた既存の DB のテーブルのレコード一覧を表示したいということと理解して説明します。理解が違っていたらどこがどう違うか詳しく書いてください。
SQL Server 2014 のインスタンスにアタッチされた既存の DB がある場合は、Visual Stidio の ADO.NET Entity Data Model ウィザードを利用して EDM を生成し、それをベースに Visual Studio のスキャフォールディング機能を使って Controller と View を自動生成すれば、自分では一行もコードを書かなくても Create, Read, Update, Delete (CRUD) 操作を行うための ASP.NET MVC アプリを作ることができます。
その中には当然一覧表示する機能も含まれます。
詳しい手順は以下の記事を見てください。
スキャフォールディング機能
http://surferonwww.info/BlogEngine/post/2017/07/23/creating-controller-and-view-in-mvc-using-scaffolding-function.aspx
接続文字列は自力で書かなくてもウィザードが自動的に生成してくれます。上の記事の「(8) 接続文字列の確認と web.config への保存」のセクションの画像を見てください。
その画像にあるように、NORTHWINDEntities という名前で接続文字列が web.config の connectionStrings セクションに以下のように設定されます。
これが私の言う「取得される側の web.config の生のコード」です。
<?xml version="1.0" encoding="utf-8"?>
<configuration>
・・・中略・・・
<connectionStrings>
・・・中略・・・
<add name="NORTHWINDEntities"
connectionString="metadata=res://*/NorthwindEdm.csdl|res://*/NorthwindEdm.ssdl|res://*/NorthwindEdm.msl;provider=System.Data.SqlClient;provider connection string="data source=(local)\sqlexpress;initial catalog=NORTHWIND;integrated security=True;MultipleActiveResultSets=True;App=EntityFramework""
providerName="System.Data.EntityClient" />
・・・中略・・・
</connectionStrings>
・・・中略・・・
</configuration>
一方、私が言う「接続文字列を取得しようとしている側の生のコード」は EDM を自動生成する際、これもやはり自動生成されるコンテキストクラスのコンストラクタに、以下の画像の通り設定されます。
この EDM をベースにスキャフォールディング機能でアプリを自動生成すると、以下のような一覧表示の機能もそれに含まれます。コードは、接続文字列等を含め、自分では一行も書く必要はありません。