"点Pは線分AB上にある"をプログラムすると型が違うので計算できない

線分AB上に点Pが存在しているかの判定をしたく、そのコードを作ろうと考えています。(直線と線分を混同しないように気をつけてください。)

※注意: 画像にあるように円の中点から直線AB(ax+by+c=0とした)の交点を求めて、それを点Pとしています。そのため点Pは点Oの位置によって動いたりすることが前提です。

上記のURLを参考にすると、プログラム上では
"s+t=1 &&
s>=0 &&
t>=0"
この３つの条件さえ合っていれば線分AB上内に点Pが存在していることになります。

ここからが問題なのですが、OP = sOA + tOBの公式についてです。
sとtの比較を実現するためにはそれぞれ s= と t= の式に直し、実数を比較しなければなりません。
しかし、ベクトルOPは "点P-点O" で表すことができるのでプログラム上で書くと(glm::vec2 P - glm::vec2 O)となり、結果もglm::vec2で出てきます。
glm::vec2は主に(x,y)を表すためのものですが、この程で計算を進めていくと以下のような問題に突き当たります。

C++
1s = (OP+OB)/(OA+OB);    // glm::vec2
2if ( s>=0 &&...) {...}  // glm::vec2 >= int

つまり型が違うので比較ができないのです。
ここでいくつか質問があります。

私のベクトルの算出方法が間違っているのでしょうか？もし間違いであれば正しいベクトルの算出方法を教えてください。
これは余談ですが、ベクトル計算は単位ベクトルに直す必要がありますか？ありませんか？

行動規範の内容に同意します

回答4件

こんにちは。

s = (OP+OB)/(OA+OB)

ベクトルのままでも計算はできると思いますが、線形代数学をそれなりに把握していないと厳しいと思います。（私も既に記憶の彼方です。）
線形代数をある程度使いこなせるのでないならば、展開して処理した方が楽ですよ。

OP = sOA + tOBは、OP, OA, OBをそれぞれ、(Xp, Yp), (Xa, Ya), (Xb, Yb)とすると、
Xp = s・Xa + t・Xb
Yp = s・Ya + t・Yb
という式になりますね。これを解けば良いです。

1.私のベクトルの算出方法が間違っているのでしょうか？もし間違いであれば正しいベクトルの算出方法を教えてください。

sと0が型違いで比較できないのでしたら、sの算出方法に間違い（勘違い？）があることは間違いないです。公式上sはスカラー値ですから0と比較できます。

ベクトルは一種の行列です。行列の演算など線形代数について学習されることをお勧めします。
もしくは、冒頭のように展開してから解くのもよいと思いますよ。

2.これは余談ですが、ベクトル計算は単位ベクトルに直す必要がありますか？ありませんか？

このケースでは絶対値も重要ですから、単位ベクトルに直す意味はないように感じます。（つまり、必要はない。）

投稿2018/12/28 09:02

Chironian

総合スコア23272

Bongo

2018/12/28 13:19

Chironianさんのご回答に一票入れたいと思います。ご質問者さんへのコメントとして、こんな考え方もいかがかとのご参考に... 求めたい(s, t)というのは、Oを原点とする点Pの座標をOA、OBを基底とするひしゃげた平行四辺形の座標系に変換した結果と考えることができそうです。ですので、^tを転置...つまり行ベクトルを列ベクトルに直すものとして、・を積として表記すると、OPと(s, t)には... OP^t = (OA^t OB^t)・(s, t)^t の関係があると言えるでしょう（コメント欄だと数式の表現力が足りなくてもどかしいですね）。これをベクトルの成分の方程式に展開すると、Chironianさんのおっしゃる... Xp = s・Xa + t・Xb Yp = s・Ya + t・Yb の形になるはずです。 ^-1が逆行列を表すものとすると、最初の式の両辺に(OA^t OB^t)^-1を左から掛けて、さらに両辺を入れ替えると... (s, t)^t = (OA^t OB^t)^-1・OP^t となります。OPの座標を表す列ベクトルに、OAとOBの座標を並べた2x2行列の逆行列を左から掛ければsとtが出てくるということになりますね。 http://eman-physics.net/math/linear08.html のような記事もご参考になりそうです。

行動規範の内容に同意します

ベストアンサー

質問内容への回答ではありませんが…

「ある点Oから，２点{A,B}を通る直線に垂線を下した位置Pが，AとBの間にあるかどうかを判定したい」という話であれば，

ベクトル T = B - A;

if(  ( (O - A)*T >= 0 )  &&  ( ( O - B )*T <= 0 )  )
{  線分上にある  }

として判定できると思います．（ここで * は内積）

投稿2018/12/28 11:46

fana

総合スコア11654

Tololololo

2018/12/28 12:04

Chironianさんには申し訳ないのですが、BAを付け替えました。コードが短いという点と*の正体が内積だったことが判明したためです。難しい質問に答えていただいたみなさまありがとうございました

行動規範の内容に同意します

点と線分の距離を求めるが参考になると思います。

これは距離を求めていますが、その過程で点が線分上にあるか (線分上に垂線を下ろせるか) を判定しています。

過去の質問でこれを C++ に書き直したコードを記載しています。
数式の導出は、最初の Qiita の記事をご参照ください。

投稿2018/12/28 07:00

tiitoi

総合スコア21956

下の図で、赤矢印で示した角度が一方は 90 度以下、他方が 90度以上なら p は A - B の線上に存在します。
(どちらかまたは両方が 90 度である場合を含んでいることに注意)
下の図でいえば、 A 点側の角度は 90 度以下, B 点側の角度は 90 度以上です。
だから、その途中に角度 90 になる p があるということです。