Ｃ＃三角形の外心公式

Question

初めまして。

Ｃ＃winformを利用して三角形の外心を探すプログラムを作りたいです。

公式が　x^2+y^2+lx+my+n=0ですけど3点があったとき

A点(x,y) Ｂ点(x1, y1) C点（x2,y2)です！

Ｃ＃コードをどうやって表現しますか？

コード
protected double GetCrossPointP()  //
		{
			double x, y, x1, y1, x2, y2;

			string xValue = textBox1.Text;
			x = Convert.ToDouble(xValue);

			string yValue = textBox2.Text;  
			y = Convert.ToDouble(yValue);  

			string x1Value = textBox3.Text;
			x1 = Convert.ToDouble(x1Value);

			string y1Value = textBox4.Text;
			y1 = Convert.ToDouble(y1Value);

			string x2Value = textBox5.Text;
			x2 = Convert.ToDouble(x2Value);

			string y2Value = textBox6.Text;
			y2 = Convert.ToDouble(y2Value);


			double distance3 = Math.Sqrt((((x - x2) * (x + x2)) / (2 * (y - y2))) - (((x1 - x2) * (x1 + x2)) / (2 * (y1 - y2))) + ((y - y1) / 2)) / (((x - x2) / (y - y2)) - ((x1 - x2) / (y1 - y2)));
			//double distance3 = Math.Sqrt((y - y2) * ((y * y) - (y1 * y1) + (x * x) - (x1 * x1)) + (y - y1) * ((y * y) - (y2 * y2) + (x * x) - (x2 * x2))) / (2 * (y - y2) * (x - x1) + 2 * (y - y1)*(x - x2));  //인터넷에 나와있는 공식

			return (int)distance3;

		}

続いて値が -2147483648で出ます。

Comments

[y_waiwai]

提示のコードで、三角形の座標はどこにどういうふうに入るんでしょうか

[KWONYONGGI]

A点(x,y) Ｂ点(x1, y1) C点（x2,y2)です！

Answer 1

公式に変数多過ぎませんか？
これでは何も求まらないでしょう。

外心の座標 Ox, Oy は、三角形の外接円の中心となります。
その半径を r とし、頂点の一つの座標を Px, Py とすると (Px - Ox)^2 + (Py -Oy)^2 = r^2 となります。

この Px, Py に三角形の各頂点の座標を代入すると、三つの連立方程式ができます。
これを解いてください。

#追記
C# では a^2 は a の排他的論理和になります。
a の二乗は Math.Pow(a, 2) ですが、長いのでここでは便宜的に a^2 で二乗を表すとして説明します。

三点を代入すると次の三つの方程式が得られます。
(1) (x - Ox)^2 + (y - Oy)^2 = r^2
(2) (x1 - Ox)^2 + (y1 - Oy)^2 = r^2
(3) (x2 - Ox)^2 + (y2 - Oy)^2 = r^2

(1) の式を「Ox=...」の形で表します。
(x - Ox)^2 = r^2 - (y - Oy)^2
x - Ox = Sqrt(r^2 - (y - Oy)^2)
Ox = x - Sqrt(r^2 - (y - Oy)^2)

これを (2) と (3) に代入します。
(2´) (x1 - (x - Sqrt(r^2 - (y - Oy)^2)))^2 + (y1 - Oy)^2 = r^2
(3´) (x2 - (x - Sqrt(r^2 - (y - Oy)^2)))^2 + (y2 - Oy)^2 = r^2
これで Ox が消え、変数は 3 つから 2 つになり、連立方程式も二つになりました。

同様に Oy を消し、一つの方程式 (3´´) にしてください。
そうすると r が求められます。
求めた r を (2´) に代入すると Oy が求められます。
Oy と r を (1) に代入すると Ox が求められます。

プログラムで表現するには、まず紙の上で計算して (3´´) の式を作り、変形して r を戻り値として返す関数にします。
そこに x, y, x1, y1, x2, y2 を引数として与えると、r が求められます。

次に (2´) から x, y, x1, y1, x2, y2, r を引数として与えると Oy を戻す関数を作ります。
最後に (1) から x, y, x1, y1, x2, y2, r, Oy を引数として与えると Ox を戻す関数を作ります。

これですべて求められました。

Comments

[KWONYONGGI]

難しいですね。。。返事ありがとうございます！

[Zuishin]

https://math.005net.com/yoten/renrituk.php
連立方程式の解き方は中学校で習うことなので、落ち着いて考えたらそれほど難しくはありません。

[KWONYONGGI]

はい。。外心探すことは大丈夫ですけどこの計算式をＣ＃コードで作ることが難しいです。。。

[Zuishin]

f(x) = x + 1
この数式を関数にするのは簡単でしょう？
というか元から関数ですから、コードに落とし込むのは何も考える必要ないでしょう？

なら三つの連立方程式を Ox = f(Oy, r, x, y, x1, y1, x2, y2), Oy = g(r, x, y, x1, y1, x2, y2), r = h(x, y, x1, y1, x2, y2) と考えればコードに落とすのも簡単ではありませんか。

[KWONYONGGI]

Zuishinさんお陰様でありがとうございます

Answer 2

三角形の外心は，各辺の垂直二等分線が交わる位置として求められるハズなので
馬鹿正直に連立方程式を解く必要はないのでは？

とりあえず２辺の垂直二等分線の交点を求めればよいでしょう．
【　位置( 辺１の中点 + 辺1の法線 * t ) が 辺２の垂直二等分線上にある　】
という単純な式からtを解けば良いだけです．

---

例えば

• O = 辺2の中点
• T = 辺2に沿うベクトル
• C = 辺1の中点
• N = 辺1の法線

とすれば，tに関する方程式は
( C + t*N - O )・T = 0
※ここで・は内積

↓なので，最終的に

• t = - (( C-O )・T) / (N・T)
• 外心位置 = C + t*N

Comments

[Zuishin]

二本の直線の交点だと結局連立方程式になるのではないですか？

[fana]

追記したようなベクトル計算でさくっと解ける話と考えていたので「連立」方程式という意識が薄かったですが，確かに御指摘の通り，どこまでいっても「連立方程式」ではありますね．

[fana]

ん？　いや，xとyで愚直に書いても式が一本だからやはり「連立」ではない？

[Zuishin]

ベクトル計算だと簡単になるんですね。

[KWONYONGGI]

二人皆とても感謝します。 大きな助けになりました。

Answer 3

三角形の外心は、三角形の各頂点からの距離が等しい点です。
すなわち、与えられた三点を円周上に持つ円の中心点となります。

で、公式は、「ある点を通る円の方程式」です。
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 より、
x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 = r^2 からさらに
x^2 + y^2 -2ax - 2by + a^2 + b^2 - r^2 = 0 と変形すると、
l = -2a, m = -2b, n = a^2+b^2-r^2 とすれば公式が得られます。

なので、この式を利用して座標(x,y), (x1,y1), (x2,y2) のそれぞれで、** l,m,n に関する式を作成して、3元連立方程式を解かねばならない** のです。

3元連立方程式を解くには、行列を利用すれば（クラメルの公式）解けますが、これを実装するのはまた骨ですけどね……

Comments

[KWONYONGGI]

返事いただいてありがとうございます！

Answer 4

連立方程式を解けばいいんですが、
外心の位置なんてすでに誰かが解いているだろうと探したら
ありました