どちらも他のプログラムを呼び出すことができ、その組み合わせで仕事をします。
そして互いに互いを呼び出すことができるので、できないことはもう片方を呼び出してやらせることができます。

しかし、私がこの二つの最も大きな違いと認識しているのは、パイプラインです。

呼び出したコマンドはそれ単体で仕事をするのではなく、標準入出力をつなぎ合わせてパイプラインを形作ります。
これにより、小さなコマンドの組み合わせでデータの複雑な加工が容易にできます。

コマンドプロンプトの場合、パイプラインを流れるのはテキストです。
これは Linux でよく使われているシェルと同じですね。

teratail で「シェル芸ならね」を検索すると、パイプラインを巧みに使ってほんの一行で様々なコマンドを組み合わせて複雑な処理をしている人を発見できます。

PowerShell の場合は、パイプラインを流れるのは単なるテキストではなく、メソッドとプロパティを持ったオブジェクトです。
これはとても画期的なことです。

コマンドを組み合わせて呼び出すのがグルー言語の役目ですが、PowerShell を使うとその組み合わせの世界が大きく広がります。
より多くの情報を受け渡しすることで、各コマンドはより柔軟にそれを扱うことができます。

これにより、コマンドプロンプトしか無かった時には、他の言語を使ってコマンドを作らなければ実現できなかったことが、PowerShell では既存のコマンドの組み合わせでできるようになりました。

例えばソートにしても、コマンドプロンプトのために用意された sort.exe は、渡されたテキストを文字コード順に並び替えるものなのに対し、PowerShell のソートは日付やファイルサイズなど、そのオブジェクトの持つプロパティによって並び替えます。
ファイルの一覧を取得し、曜日でグループ化し、それぞれのグループをファイルサイズで降順に並び替えるようなことが一行でできます。

 私の基礎的な認識

こちらの認識はちょっと不正確と思います。
DOS(コマンドプロンプト?) から、PowerShellを呼び出す事ができ、またその逆も出来ます。従って、相互に呼び出す事で、互いのできる事は全てできますが、それは違いでも何でもありません。
また、Excelを操作できるとかありますが、.Netの機能を呼び出す事ができる事であってPowerShellだからという事ではありません。(ちなみにExcelは入っていないと使えないが)

どちらもシェルスクリプト(Unix的言い方では)です。

上手い説明ないかと思ったら、過去にも同様の質問がありました。
コマンドプロンプトとWindows PowerShellの違いについて
こちらを見て頂くのが早いかと。

まあ、ざっくりと言って、コマンドプロンプト(DOS)が MS-DOS時代の コマンドライン入力とそのバッチ処理(実質、シーケンシャル処理) に対し、Linux(Unix)等を意識し、より便利に使えるようにしたものが、PowerShellと思っています。.NETが素で呼べるのが便利な気もしますが、賛否ありそうな感じ。(環境依存) その一方、バッチファイル(DOSコマンド)のシンプルさが無くなって、ちょっと使うには面倒になった気もします。

Googleで、 powershell command prompt 違い(一部、Google補完あり)で検索したら、色々と解説が見つかりました。参考にされるのも良いかと思います。

//Windows 7 以降、PowerShell はプレインストールされてるので
//今更 dosコマンドを使う意味合いは薄いような気もしますが…

まず、いろんな意味で双方は別物ですから、違うのは当然ですね。
古い車とスーパーカーを比較しいてるようなものですから、
似たような使い方はできても「だからなに？」って感じでしょう。

dosコマンドで出来ることは限られますから、まずは自分で
調べてみられてはいかがでしょうか。時間もかからないでしょう。
そういう意味で PowerShell は学習コストが高いですから
(強いて言えば)そういう違いもあるってことで。

//例えば、古い環境で動いていた .bat を PowerShell に移行したい
//などという場合なら違いを調べる動機にはなるのかなあ。
//ただ、以前使えていた dosコマンドが現在の環境では提供されていない
//もしくはオプションが変わっている、ということはありそうなので、
//すんなりいかないこともあるかもしれませんねえ。