曲率半径を求めたいが、計算式がわからなかったので他の計算方法で求めたいです！！

Question

あることが原因で曲率半径を求めようとしました。そして公式を使いました。
ここで私の悪い癖が出ました。どうやって公式を作ったのか知りたくなりこのサイトを読みました。こちらがサイトです
正直、計算式はまったく、ほぼ理解できませんでした！
なのでどうにかして難しい数式なしにそこそこの精度の曲率半径が求められないか考えています。
今のところ思いついたのは分度器でなんとかなんないかと考えています。角度がわかれば曲率半径がわかると思っています。（毎回毎回アホな発想ですいません。）
画像のようにわかりやすければいいのですが...。
画像は紹介したサイトから持ってきました。

＜編集9/3＞
参考にしたサイトではtanθの公式を使っていましたが、

tan(θ+dθ)=tanθ+tandθ/1-tanθ*tandθ
```の公式を載せました図から展開することは可能なんでしょうか？
幾何学的に求まるかどうか検索しながら行ってはみているのですが、できませんでした。
できないならば仕方ないのですが、私が何故以上のように展開できると思ったのかは
載せた画像の図形を展開するとtan(θ+dθ)=dy/dx+d^2y/dx^2*dxとできると思うのですが、ならば同じ画像の図からtanθ+tandθ/1-tanθ*tandθも導けるのではないかと考えました。
今、解いています。
**＜編集9/4＞**
こちらが数学を解くためのサイトでないことはわかります。ですが、あともう少しで解けそうなのです。どうか皆様の知恵を貸していただけないでしょうか？
新しい画像の左にも書いたようにdθ:d^2y/dx^2=dx:1+(dy/dx)^2が図のどこかに相似条件として書けるはずなのですが、最後の最後でわかりません。
ここまで来たのに止まってしまい歯がゆいです。
もちよん傾き同士を＝にすればあとは計算して求まるのですが、そこをあえて幾何学的に相似条件をdθ:d^2y/dx^2=dx:1+(dy/dx)^2を書き込んで解いてみたいのです！
![イメージ説明](da2dcf9b0ce2670a15cb8ff78ebe6603.jpeg)

＜たぶん最期の編集9/5＞
あのあと幾何学的にじっくり考えてdθを求めました。
ただ、できれば縦＝縦の式でdθを解くのではなく、dθを式ではなく幾何学的に導きたかったですね。（一応、画像を載せます。）
皆様、どうもありがとうございます。
![イメージ説明](68ff16a420eb91502b78a15a7ba76e4d.jpeg)

Comments

[swordone]

最後の図、まさに参考サイトの解き方そのものです。

Answer 1

公式がなぜ「そうなる」のかが分からない、ということでしょうか。
こちらのサイトの方がわかりやすいかな。

点P,Q の接線の交点をC, 接線がX軸と交わる点を p, q とすると、
∠PCQ は（180-∠pCq） となります。ここでθとθ＋Δθが分かっている（接線の方程式から導出可能）から、∠pCq は求まり、よって∠PCQも求まります。
三角形PCQ は、一片の長さ（PQ）とそれに対する頂点Cがなす角度が分かり、しかも二等辺三角形ですから一意に定まり、これにより∠CPQ を求めることができます。
ここで線分MPと線分Ppは直角に交差する（線分Ppが接線ですから）ので、このことから∠MPQ を求めることができます。同様に∠MQPも求まります（実際には二等辺三角形なので同一ですが）
1辺とその両端の2角が分かっていて、しかも二等辺三角形ですから、三角形は一意に定まるので、これにより線分MPの長さ、すなわち曲率半径Rを求めることができます。

と、手順を追えば長々となりますが、これを式に当てはめると公式ができあがるわけです。

Comments

[John-Doe.7]

なんだか私の好きな幾何学的に解いているようですごくいいです。
あの、載せた画像において書いていただいたように幾何学的に書き込んで解くことはできるでしょうか？
あるいは、書いていただいた通りにすれば、載せていただいた図形において展開できるのでしょうか？
解説を読む限りは書いていただいた通りにすれば、載せていただいた図形において展開できると思います。

[John-Doe.7]

ちなみに、
式に当てはめなくても書いていただいた通りにしていけば公式を使わずに求められるのではないでしょうか？

[tacsheaven]

確かに公式に当てはめなくても解けますが、逆に公式を使えば手間をかけずに解けるのです。
なぜその公式でできるのか、を調べるのは結構ですが、公式を忌避する理由にはならないですよ。

ちなみに書き込みについて言えば、P,Q に置ける接線の傾き（＝微分を解く）から、接線の一次方程式を作ることができます。そうするとこれに直交する直線（法線）の方程式を求められ、P,Q の法線が交わる一点、すなわちMを連立一次方程式の解として解くことができる、という手順です。

Answer 2

そこそこの精度の曲率半径が求められないか

(その1)
点Mが定まれば，曲率半径Rは，MからPまでの距離（あるいはMからQまでの距離）なのですから，
何らかの方法でMの位置を近似的に求めれば良いわけですよね．

とりあえず質問文に貼っている絵の通りのことをすればよいのではないでしょうか．
すなわち，
曲線上で「ある程度近い位置」にある２点P,Qにおける曲線の法線を求め，その２つの法線の交点を求めれば点Mの座標がとりあえず近似できそうですね．
（とは言え，実際にやると，PとQを近づけるほど精度がヤバくなりそうな雰囲気を感じますが…）

(その2)
元々，【曲線のごく一部分を円であると近似する話】なのですから，それをやってしまえばどうでしょうか．
曲線（の一部分）上を適当にサンプリングしたＮ個に対して円を当てはめてしまえば良いでしょう．
（別の質問で最小二乗法の話がありましたよね．そういうのでやれば良いかと）

Comments

[fana]

もっと雑な（＝精度は悪いが，実装が簡単な）方法としては，ハフ変換的な投票法でMを求めるという方法も考えられます．
「ハフ変換」でググれば意味はわかると思いますが，ざっくり言うと，
曲線上のある点から見ると「点Mは，その点の位置における曲線の法線上のどこかにある」のだから
曲線上の複数個の点が，空間上で法線の通る箇所に投票行動を行ったならば，結果として点Mの位置に票がたくさん集まるから，票が最も集まった位置としてMを見つけることができるという話．

紙と鉛筆で例えると，Ｐにおける法線と，Qにおける法線を鉛筆で薄く描けば，２つの法線が交わった箇所が少し濃くなる　→　もっとたくさんの点で法線を描くことをを行えば，線が集まった箇所がものすごく濃くなる．そこがＭ．

[swordone]

このサイト(https://mathtrain.jp/curvature)では、その1の方法で出しています。

Answer 3

円の場合，曲率κは曲率半径(円の場合は半径)の逆数となります。式を導く過程は難しいかもしれませんが、結果は簡単な式になっております. ただ代入して求めればいいのでは?

例えばR = 5の時 κ = 0.2になりますよね?

(一般的な場合)
円ではない曲線の場合も求めれることができ、求める式も存在します。
**「フルネ-セレの公式」**というキーワードを参考に検索してみてください。
媒介変数の1回微分,2回微分したものを使うのですが、関数によって微分した形が変わるので
一概にすべてを１つの簡単な式に置き換えることは難しいと思います.

Comments

[swordone]

円の曲率半径は円の半径そのものです。

曲率が半径の逆数です。

[退会済みユーザー]

ご指摘ありがとうございます。訂正しました。

Answer 4

k = 1 / R
R = ~

をそのまま入れれば曲率そのものです。

式の変形がわからなかったとしても、曲率を計算する方法は結果の式だけです。

一次微分と二次微分を計算すれば出てきます。

それとも、式変形のわからないものは使えないので、別の方法でやり方がないかを知りたいのでしょうか？

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9/3の追記について

tanに関する加法定理を使うとあります。

高校数学によくある問題なので参照してみてください。

http://manapedia.jp/m/text/2275

Comments

[fana]

おそらく，ですが，
>そして公式を使いました。
とされているので，質問者が直面している何らかの解決すべき課題(?)に関しては，とりあえず「結果の式」を使うのだと思います．
それとは別に，単に
>難しい数式なしにそこそこの精度の曲率半径が求められないか
という話をしたいだけなのではないかな，と．

[mkgrei]

なるほど。
確かにそのように読めてきました。

難しい数式なしに、曲率の公式の使えば良いとばかり思っていたので、質問の意図がよくわかりませんでした。

曲率の定義から曲率の式が出てきているので、その式をそのまま受け入れるか、導出手順をなぞる他ないかと思っていました。

もっと直感的でわかりやすい導出方法を聞きたかったのかもしれません。

[John-Doe.7]

なんかややこしくしてしまってすいません。
>>もっと直感的でわかりやすい導出方法を聞きたかったのかもしれません。
そのとおりです。幾何学的に解きたいと思いました。